6. sınıf matematik kümeler konu anlatımı Test 1

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?

A) %10
B) %20
C) %30
D) %40

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir sınıftaki öğrencilerin matematik ve fizik derslerindeki başarı durumları verilmiş. Bizden istenen ise, hem matematik hem de fizik dersinden başarılı olan öğrencilerin yüzdesini bulmak. Bu tür problemleri çözerken kümeler mantığını kullanmak işimizi çok kolaylaştırır.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim.
  • Matematikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $P(M) = \%60$
  • Fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $P(F) = \%70$
  • Her iki dersten başarısız olan öğrenci yok. Bu çok önemli bir bilgi!
• Adım 2: "Her iki dersten başarısız öğrenci yok" ne anlama geliyor?

  Bu ifade, sınıftaki tüm öğrencilerin en az bir dersten başarılı olduğu anlamına gelir. Yani, matematik veya fizik derslerinden en az birinden başarılı olan öğrencilerin yüzdesi $P(M \cup F) = \%100$'dür. Başka bir deyişle, tüm sınıf ya matematikten, ya fizikten ya da her ikisinden başarılıdır.

• Adım 3: Kümelerdeki Birleşim Formülünü Hatırlayalım.

  İki kümenin birleşiminin eleman sayısını (veya yüzde oranını) bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır:

  $P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$

  Burada:

  • $P(M \cup F)$: Matematik veya fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi (en az birinden başarılı olanlar).
  • $P(M)$: Matematikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi.
  • $P(F)$: Fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi.
  • $P(M \cap F)$: Hem matematik hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi (bizim aradığımız değer).
• Adım 4: Bilgileri Formülde Yerine Koyalım ve Çözümleyelim.

  Yukarıdaki formülde bildiğimiz değerleri yerine yazalım:

  $\%100 = \%60 + \%70 - P(M \cap F)$

  Şimdi denklemi adım adım çözelim:

  $\%100 = \%130 - P(M \cap F)$

  Aradığımız $P(M \cap F)$ değerini yalnız bırakmak için denklemi yeniden düzenleyelim:

  $P(M \cap F) = \%130 - \%100$

  $P(M \cap F) = \%30$

• Adım 5: Sonucu Belirleyelim.

  Yaptığımız hesaplamalara göre, hem matematik hem de fizik dersinden başarılı olan öğrencilerin yüzdesi %30'dur.

Cevap C seçeneğidir.