Sayı doğrusunda $A$ kümesi $[-5, 3)$ ve $B$ kümesi $(1, 8]$ olarak verilmiştir. Buna göre, $A \cap B$ kümesinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sayı doğrusunda 1 ve 3 noktaları açık, araları taranmış.
B) Sayı doğrusunda 1 noktası kapalı, 3 noktası açık, araları taranmış.
C) Sayı doğrusunda 1 noktası açık, 3 noktası kapalı, araları taranmış.
D) Sayı doğrusunda -5 ve 8 noktaları kapalı, araları taranmış.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle kümeler konusundaki kesişim işlemini ve bu kesişim kümesinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimini adım adım inceleyeceğiz. Bu tür sorular, hem matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirir hem de sayı doğrusunu doğru yorumlama yeteneğinizi pekiştirir. Haydi başlayalım!
- 1. Kümeleri Anlayalım:
Öncelikle bize verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:
- $A$ kümesi $[-5, 3)$ olarak verilmiş. Bu, $A$ kümesinin $-5$ sayısını içerdiğini (köşeli parantez $[$ olduğu için), $3$ sayısını içermediğini (normal parantez $)$ olduğu için) ve bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsadığını gösterir. Yani, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -5 \le x < 3\}$.
- $B$ kümesi $(1, 8]$ olarak verilmiş. Bu, $B$ kümesinin $1$ sayısını içermediğini (normal parantez $)$ olduğu için), $8$ sayısını içerdiğini (köşeli parantez $]$ olduğu için) ve bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsadığını gösterir. Yani, $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \le 8\}$.
- 2. Kesişim İşlemini Hatırlayalım ($A \cap B$):
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanların oluşturduğu kümedir. Sayı doğrusu üzerinde bu, her iki kümenin de taranmış olduğu ortak bölge anlamına gelir.
- 3. Kesişim Kümesini Bulalım:
Kesişim kümesini bulmak için, her iki kümenin de alt sınırlarından en büyüğünü ve üst sınırlarından en küçüğünü almamız gerekir. Ayrıca, bu sınırların kümeye dahil olup olmadığını da dikkatlice incelemeliyiz:
- $A$ kümesinin alt sınırı $-5$, $B$ kümesinin alt sınırı $1$. Bu iki sayıdan en büyüğü $1$'dir.
- $A$ kümesinin üst sınırı $3$, $B$ kümesinin üst sınırı $8$. Bu iki sayıdan en küçüğü $3$'tür.
Şimdi sınırların dahil olup olmadığına bakalım:
- Alt sınır olarak $1$ sayısını aldık. $1$ sayısı $A$ kümesinde ($[-5, 3)$ aralığında) yer alır. Ancak $B$ kümesinde $(1, 8]$ aralığında $1$ sayısı dahil değildir (açık parantez). Kesişimde bir elemanın yer alabilmesi için her iki kümede de bulunması gerektiğinden, $1$ sayısı kesişim kümesine dahil değildir. Bu yüzden $1$ için açık parantez kullanırız.
- Üst sınır olarak $3$ sayısını aldık. $3$ sayısı $A$ kümesinde ($[-5, 3)$ aralığında) dahil değildir (açık parantez). $B$ kümesinde $(1, 8]$ aralığında $3$ sayısı yer alır. Ancak $A$ kümesinde dahil olmadığı için, kesişim kümesine de dahil değildir. Bu yüzden $3$ için de açık parantez kullanırız.
Bu durumda, $A \cap B$ kümesi $(1, 3)$ olarak bulunur. Yani, $A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 3\}$.
- 4. Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterim:
$(1, 3)$ aralığının sayı doğrusu üzerindeki gösterimi şu şekildedir:
- $1$ noktası kümeye dahil olmadığı için sayı doğrusu üzerinde içi boş bir nokta (açık nokta) ile gösterilir.
- $3$ noktası kümeye dahil olmadığı için sayı doğrusu üzerinde içi boş bir nokta (açık nokta) ile gösterilir.
- Bu iki nokta arasındaki tüm sayılar kümeye dahil olduğu için, $1$ ile $3$ arası taranır.
- 5. Seçenekleri İnceleyelim:
Bulduğumuz sonuçla seçenekleri karşılaştıralım:
- A) Sayı doğrusunda 1 ve 3 noktaları açık, araları taranmış. Bu, bizim bulduğumuz $(1, 3)$ aralığının tam karşılığıdır.
- B) Sayı doğrusunda 1 noktası kapalı, 3 noktası açık, araları taranmış. Bu $[1, 3)$ aralığını temsil eder, bizim sonucumuzla uyuşmaz.
- C) Sayı doğrusunda 1 noktası açık, 3 noktası kapalı, araları taranmış. Bu $(1, 3]$ aralığını temsil eder, bizim sonucumuzla uyuşmaz.
- D) Sayı doğrusunda -5 ve 8 noktaları kapalı, araları taranmış. Bu $[-5, 8]$ aralığını temsil eder ve $A \cup B$ (birleşim) kümesi bile değildir, bizim sonucumuzla uyuşmaz.
Gördüğünüz gibi, adım adım ilerlediğimizde doğru cevaba kolayca ulaştık. Kümeler ve sayı doğrusu arasındaki ilişkiyi iyi anlamak, bu tür soruları çözmenin anahtarıdır.
Cevap A seçeneğidir.
