A fark B (A\B) aralığı nasıl bulunur Test 2

A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R} ve B = {x | 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A\B fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-2, 1)
B) [-2, 1]
C) (-2, 1)
D) [-2, 5]

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki küme arasındaki fark işlemini adım adım inceleyeceğiz. Kümeler ve aralık kavramları bu tür soruların temelini oluşturur.

• Adım 1: Kümeleri Aralık Notasyonuyla Yazalım

  Verilen kümeleri daha anlaşılır bir şekilde aralık notasyonuyla ifade edelim:

  • $A = \{x | -2 \le x < 3, x \in R\}$ kümesi, gerçek sayılar üzerinde $-2$ dahil ve $3$ hariç tüm sayıları içerir. Bu, aralık notasyonunda $A = [-2, 3)$ şeklinde yazılır.
  • $B = \{x | 1 \le x \le 5, x \in R\}$ kümesi, gerçek sayılar üzerinde $1$ dahil ve $5$ dahil tüm sayıları içerir. Bu, aralık notasyonunda $B = [1, 5]$ şeklinde yazılır.

• Adım 2: Fark Kümesinin Tanımını Hatırlayalım

  $A \setminus B$ (A fark B) kümesi, A kümesinde bulunan ancak B kümesinde bulunmayan elemanlardan oluşur. Başka bir deyişle, $A \setminus B = \{x | x \in A \text{ ve } x \notin B\}$.

• Adım 3: Sayı Doğrusunda Kümeleri Görselleştirelim

  Bu adım, hangi aralığın çıkarılacağını ve hangi kısmın kalacağını görmemize yardımcı olur. Sayı doğrusunda A ve B kümelerini hayal edelim:

  • A kümesi: $-2$'den başlar (kapalı aralık, yani $-2$ dahil) ve $3$'e kadar gider (açık aralık, yani $3$ hariç).
  • B kümesi: $1$'den başlar (kapalı aralık, yani $1$ dahil) ve $5$'e kadar gider (kapalı aralık, yani $5$ dahil).

  Biz A kümesinden, B kümesiyle ortak olan kısımları çıkarmamız gerekiyor.

• Adım 4: $A \setminus B$ Kümesini Bulalım

  Şimdi $x \in A$ ve $x \notin B$ koşullarını sağlayan $x$ değerlerini bulalım:

  • $x \in A$ demek, $x \in [-2, 3)$ demektir. Yani $-2 \le x < 3$.
  • $x \notin B$ demek, $x \notin [1, 5]$ demektir. Bu da $x < 1$ veya $x > 5$ anlamına gelir.

  Bu iki koşulu birleştirmemiz gerekiyor:

  • ($-2 \le x < 3$) VE ($x < 1$ VEYA $x > 5$)

  İlk koşul ($x < 3$) nedeniyle, $x > 5$ olma ihtimali ortadan kalkar. Çünkü bir sayı hem $3$'ten küçük hem de $5$'ten büyük olamaz.

  Dolayısıyla, geriye kalan koşul şudur:

  • ($-2 \le x < 3$) VE ($x < 1$)

  Bu iki koşulu aynı anda sağlayan $x$ değerleri, $-2$'den başlayıp $1$'e kadar olan sayılardır:

  • $-2$ sayısı A kümesinde bulunur (çünkü $-2 \le -2 < 3$) ve B kümesinde bulunmaz (çünkü $-2 < 1$). Bu yüzden $-2$, $A \setminus B$ kümesine dahildir.
  • $1$ sayısı A kümesinde bulunur (çünkü $-2 \le 1 < 3$) ancak B kümesinde de bulunur (çünkü $1 \le 1 \le 5$). Fark kümesinin tanımına göre, B'de olan elemanlar çıkarıldığı için $1$, $A \setminus B$ kümesine dahil değildir.

  Bu durumda, $A \setminus B$ kümesi $[-2, 1)$ aralığıdır.

• Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim

  Bulduğumuz sonuç olan $[-2, 1)$ aralığı, A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.