Paralelkenar yöntemi (Vektör toplama) Test 1

Bir cisim üzerine etki eden $\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$ kuvvetlerinin bileşkesi $\vec{R}$'dir. $\vec{F_1}$ kuvveti doğuya doğru 8 N büyüklüğündedir. Bileşke kuvvet $\vec{R}$ kuzeydoğu yönünde ve büyüklüğü $8\sqrt{2}$ N'dir. Buna göre, $\vec{F_2}$ kuvvetinin büyüklüğü ve yönü nedir? (Paralelkenar yöntemini düşününüz)

A) 8 N, kuzeybatı
B) 8 N, kuzey
C) 16 N, kuzey
D) $8\sqrt{2}$ N, kuzeydoğu

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki kuvvetin bileşkesini kullanarak bilinmeyen bir kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • Bir cisme etki eden iki kuvvet var: $\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$.
  • Bu iki kuvvetin bileşkesi (toplamı) $\vec{R}$'dir. Yani, $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.
  • $\vec{F_1}$ kuvveti: Yönü doğuya, büyüklüğü $F_1 = 8$ N.
  • Bileşke kuvvet $\vec{R}$: Yönü kuzeydoğuya, büyüklüğü $R = 8\sqrt{2}$ N.
  • Bizden istenen: $\vec{F_2}$ kuvvetinin büyüklüğü ve yönü.
• 2. Vektörleri Bileşenlerine Ayıralım:
  • Kuvvetleri daha kolay işlem yapabilmek için koordinat sisteminde bileşenlerine ayıralım. Doğu yönünü pozitif x ekseni, Kuzey yönünü pozitif y ekseni olarak kabul edelim.
  • $\vec{F_1}$ kuvveti: Doğu yönünde olduğu için sadece x bileşeni vardır.
    • $F_{1x} = 8$ N
    • $F_{1y} = 0$ N
    • Yani, $\vec{F_1} = (8, 0)$ N.
  • $\vec{R}$ bileşke kuvveti: Kuzeydoğu yönünde olduğu için hem x hem de y bileşeni vardır ve bu bileşenler eşittir (çünkü kuzeydoğu, doğu ve kuzey yönleri arasında tam $45^\circ$ açı yapar).
    • $R_x = R \cos(45^\circ) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8$ N.
    • $R_y = R \sin(45^\circ) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8$ N.
    • Yani, $\vec{R} = (8, 8)$ N.
• 3. $\vec{F_2}$ Kuvvetini Bulalım:
  • Bileşke kuvvetin tanımından $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ olduğunu biliyoruz.
  • $\vec{F_2}$ kuvvetini bulmak için bu denklemi yeniden düzenleyebiliriz: $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1}$.
  • Şimdi bileşenleri kullanarak çıkarma işlemini yapalım:
    • $F_{2x} = R_x - F_{1x} = 8 - 8 = 0$ N.
    • $F_{2y} = R_y - F_{1y} = 8 - 0 = 8$ N.
    • Yani, $\vec{F_2} = (0, 8)$ N.
• 4. $\vec{F_2}$ Kuvvetinin Büyüklüğü ve Yönünü Belirleyelim:
  • $\vec{F_2}$ kuvvetinin x bileşeni $0$ N, y bileşeni $8$ N'dir.
  • Bu durum, kuvvetin sadece y ekseni üzerinde olduğunu gösterir. Pozitif y ekseni yönü ise Kuzey'dir.
  • $\vec{F_2}$ kuvvetinin büyüklüğü (Pisagor teoremi ile):
    • $F_2 = \sqrt{F_{2x}^2 + F_{2y}^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$ N.
  • Sonuç olarak, $\vec{F_2}$ kuvvetinin büyüklüğü $8$ N ve yönü Kuzey'dir.
• 5. Paralelkenar Yöntemiyle İlişkilendirme:
  • Paralelkenar yönteminde, iki kuvvetin bileşkesi, bu kuvvetlerin oluşturduğu paralelkenarın köşegenidir.
  • Bizim durumumuzda, $\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$ kuvvetleri bir paralelkenarın komşu kenarlarıdır ve $\vec{R}$ bu paralelkenarın köşegenidir.
  • Eğer $\vec{F_1}$ kuvvetini orijinden doğuya doğru çizersek (8 birim), ve $\vec{R}$ bileşke kuvvetini de aynı orijinden kuzeydoğuya doğru çizersek ($8\sqrt{2}$ birim), $\vec{F_2}$ kuvveti, $\vec{F_1}$'in ucundan $\vec{R}$'nin ucuna çizilen vektör olacaktır.
  • Bu çizimde, $\vec{F_1}$ (doğuya 8 N) ve $\vec{R}$ (kuzeydoğuya $8\sqrt{2}$ N) arasındaki açı $45^\circ$'dir.
  • $\vec{F_1}$'in ucundan $\vec{R}$'nin ucuna çizilen vektör, x ekseninde bir değişiklik yapmaz (8'den 8'e), ancak y ekseninde 0'dan 8'e bir değişiklik yapar. Bu da tam olarak kuzey yönünde 8 N'lik bir kuvvete karşılık gelir.
  • Bu, aslında bir dik üçgen oluşturur. $\vec{F_1}$ (yatay kenar), $\vec{F_2}$ (dikey kenar) ve $\vec{R}$ (hipotenüs) şeklinde.
    • Yatay kenar $F_1 = 8$ N.
    • Hipotenüs $R = 8\sqrt{2}$ N.
    • Dikey kenar $F_2 = \sqrt{R^2 - F_1^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - 8^2} = \sqrt{64 \cdot 2 - 64} = \sqrt{128 - 64} = \sqrt{64} = 8$ N.
  • Bu dik üçgenin dik kenarları doğu ve kuzey yönlerinde olduğu için, $\vec{F_2}$ kuvveti kuzey yönünde olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.