6. sınıf matematik doğal sayıları asal çarpanlarına ayırma test çöz Test 1

Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^2 \times 3^3 \) olan sayının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi çifttir?

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, asal çarpanlarına ayrılmış hali verilen bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesinin çift olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Sayıyı ve Asal Çarpanlarını Anlayalım:

  Verilen sayı $N = 2^2 \times 3^3$ şeklindedir. Bu, sayının 2'nin karesi ile 3'ün küpünün çarpımı olduğu anlamına gelir. Yani $N = (2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) = 4 \times 27 = 108$ sayısıdır.

• 2. Bir Sayının Pozitif Bölenlerinin Genel Yapısı:

  Bir sayının pozitif bölenleri, o sayının asal çarpanlarının üslerinin farklı kombinasyonları şeklinde yazılabilir. $N = 2^2 \times 3^3$ sayısının herhangi bir pozitif böleni $d$, $d = 2^a \times 3^b$ şeklinde olmalıdır.

• 3. Üslerin Alabileceği Değerleri Belirleyelim:

  Bölen $d = 2^a \times 3^b$ şeklinde olduğunda, $a$ ve $b$ üsleri, ana sayının asal çarpanlarının üslerini geçemez:

  • $2$'nin üssü olan $a$, $0 \le a \le 2$ aralığında olabilir. Yani $a \in \{0, 1, 2\}$ değerlerini alabilir. (3 farklı seçenek)
  • $3$'ün üssü olan $b$, $0 \le b \le 3$ aralığında olabilir. Yani $b \in \{0, 1, 2, 3\}$ değerlerini alabilir. (4 farklı seçenek)
• 4. Çift Bölen Kavramını Anlayalım:

  Bir tam sayının çift olması için, o sayının asal çarpanları arasında en az bir tane $2$ çarpanı bulunması gerekir. Başka bir deyişle, bölen $d = 2^a \times 3^b$ ifadesinde $a$ üssü en az $1$ olmalıdır.

• 5. Çift Bölenler İçin Üslerin Seçimini Yapalım:

  Bölenin çift olması koşulunu uygulayarak $a$ ve $b$ için uygun seçenekleri belirleyelim:

  • $a$ için: $a \ge 1$ olmalıdır. $a$'nın alabileceği değerler $N$'nin $2$'nin üssü olan $2$'yi geçemeyeceği için, $a \in \{1, 2\}$ olabilir. Bu durumda $a$ için $2$ farklı seçenek vardır.
  • $b$ için: $b$ üssü üzerinde çift olma koşulu açısından herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu nedenle $b$, $0 \le b \le 3$ aralığındaki tüm değerleri alabilir. Yani $b \in \{0, 1, 2, 3\}$ olabilir. Bu durumda $b$ için $4$ farklı seçenek vardır.
• 6. Çift Bölen Sayısını Hesaplayalım:

  Çift bölen sayısı, $a$ için seçilebilecek farklı değer sayısı ile $b$ için seçilebilecek farklı değer sayısının çarpımıdır:

  • Çift bölen sayısı $= (\text{a için seçenek sayısı}) \times (\text{b için seçenek sayısı})$
  • Çift bölen sayısı $= 2 \times 4 = 8$.

  Buna göre, asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2 \times 3^3$ olan sayının pozitif tam sayı bölenlerinden 8 tanesi çifttir.

Cevap C seçeneğidir.