10. Sınıf Benzerlik Oranı ile Alan Arasındaki İlişki Test 1

Benzer iki dairenin yarıçapları oranı 2:5'tir. Küçük dairenin alanı 36π cm² olduğuna göre, büyük dairenin alanı kaç π cm²'dir?

A) 100
B) 144
C) 180
D) 225

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde benzer iki dairenin yarıçapları ve alanları arasındaki ilişkiyi kullanarak büyük dairenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize verilen ilk bilgi, benzer iki dairenin yarıçapları oranının $2:5$ olduğudur. Bu, küçük dairenin yarıçapının büyük dairenin yarıçapına oranının $\frac{2}{5}$ olduğu anlamına gelir. Eğer küçük dairenin yarıçapına $r_k$ ve büyük dairenin yarıçapına $r_b$ dersek, bu oranı $\frac{r_k}{r_b} = \frac{2}{5}$ şeklinde yazabiliriz.

  İkinci bilgi ise küçük dairenin alanının $36\pi$ cm² olduğudur. Dairenin alanı formülü $A = \pi r^2$ idi. Yani, küçük daire için $A_k = \pi r_k^2 = 36\pi$ cm².

• 2. Benzer Şekillerde Alanlar Oranı Kuralını Hatırlayalım:

  Geometride önemli bir kural şudur: Benzer iki şeklin (bu durumda daireler) alanları oranı, benzerlik oranının (bu durumda yarıçaplar oranının) karesine eşittir. Yani,

  $\frac{\text{Küçük Dairenin Alanı}}{\text{Büyük Dairenin Alanı}} = \left(\frac{\text{Küçük Dairenin Yarıçapı}}{\text{Büyük Dairenin Yarıçapı}}\right)^2$

  Matematiksel olarak ifade edersek: $\frac{A_k}{A_b} = \left(\frac{r_k}{r_b}\right)^2$.

• 3. Alanlar Oranını Hesaplayalım:

  Yarıçaplar oranını biliyoruz: $\frac{r_k}{r_b} = \frac{2}{5}$. Şimdi bu oranı kare alarak alanlar oranını bulalım:

  $\frac{A_k}{A_b} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.

  Bu, küçük dairenin alanının büyük dairenin alanına oranının $\frac{4}{25}$ olduğu anlamına gelir.

• 4. Büyük Dairenin Alanını Bulalım:

  Küçük dairenin alanını ($A_k = 36\pi$ cm²) ve alanlar oranını ($\frac{A_k}{A_b} = \frac{4}{25}$) kullanarak büyük dairenin alanını ($A_b$) bulabiliriz:

  $\frac{36\pi}{A_b} = \frac{4}{25}$

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $A_b$ değerini yalnız bırakalım:

  $4 \cdot A_b = 36\pi \cdot 25$

  Her iki tarafı $4$'e bölelim:

  $A_b = \frac{36\pi \cdot 25}{4}$

  $36$'yı $4$'e böldüğümüzde $9$ elde ederiz:

  $A_b = 9\pi \cdot 25$

  $9 \cdot 25$ işlemini yaparsak:

  $A_b = 225\pi$ cm².

• 5. Sonucu Kontrol Edelim:

  Soru bizden büyük dairenin alanının kaç $\pi$ cm² olduğunu istiyordu. Biz de büyük dairenin alanını $225\pi$ cm² olarak bulduk. Dolayısıyla, istenen sayı $225$'tir.

Cevap D seçeneğidir.