Kenar uzunlukları 10 cm, 10 cm ve 12 cm olan ikizkenar üçgenin ağırlık merkezinin, üçgenin çevrel çemberinin merkezine olan uzaklığı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Her zaman 0'dır (çakışıktırlar)
B) Her zaman 2 cm'dir
C) Üçgene bağlı olarak değişir
D) Her zaman 4 cm'dir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kenar uzunlukları belirli olan bir ikizkenar üçgenin ağırlık merkezinin, çevrel çemberinin merkezine olan uzaklığını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Üçgenin Yüksekliğini Bulalım:
- İkizkenar üçgenimizin kenar uzunlukları $10$ cm, $10$ cm ve $12$ cm'dir. Tabanı $12$ cm olan kenar olarak alalım.
- İkizkenar üçgende, tepe noktasından tabana indirilen yükseklik, aynı zamanda tabanı iki eşit parçaya böler. Bu durumda, $12$ cm'lik taban $6$ cm ve $6$ cm olarak ikiye ayrılır.
- Yüksekliği ($h$) bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz. Oluşan dik üçgende hipotenüs $10$ cm, bir dik kenar $6$ cm ve diğer dik kenar $h$'dir.
- $h^2 + 6^2 = 10^2$
- $h^2 + 36 = 100$
- $h^2 = 64$
- $h = 8$ cm.
- 2. Ağırlık Merkezinin (G) Yerini Belirleyelim:
- Ağırlık merkezi (G), kenarortayların kesişim noktasıdır. İkizkenar üçgende, tepe noktasından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
- Ağırlık merkezi, kenarortayı tepe noktasından itibaren $2:1$ oranında böler. Toplam yükseklik $h = 8$ cm olduğuna göre:
- Tepe noktasından ağırlık merkezine olan uzaklık: $AG = rac{2}{3}h = rac{2}{3} \times 8 = rac{16}{3}$ cm.
- Tabanın orta noktasından ağırlık merkezine olan uzaklık: $GM = rac{1}{3}h = rac{1}{3} \times 8 = rac{8}{3}$ cm.
- 3. Çevrel Çemberin Merkezinin (O) Yerini Belirleyelim:
- Çevrel çemberin merkezi (O), kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır. İkizkenar üçgende, tepe noktasından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda tabanın orta dikmesidir. Bu nedenle, çevrel çemberin merkezi de bu yükseklik üzerinde yer alır.
- Çevrel çemberin yarıçapı ($R$), çevrel çemberin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine olan uzaklıktır.
- Çevrel çemberin yarıçapını bulmak için $R = rac{abc}{4K}$ formülünü kullanabiliriz. Burada $a, b, c$ kenar uzunlukları ve $K$ üçgenin alanıdır.
- Üçgenin alanı $K = rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ cm$^2$.
- $R = rac{10 \times 10 \times 12}{4 \times 48} = rac{1200}{192}$.
- Sadeleştirme yaparsak: $R = rac{1200 \div 24}{192 \div 24} = rac{50}{8} = rac{25}{4}$ cm.
- Çevrel çemberin merkezi (O), tepe noktasından $R$ kadar uzaklıktadır. Yani $AO = R = rac{25}{4}$ cm.
- 4. Ağırlık Merkezi (G) ile Çevrel Çemberin Merkezi (O) Arasındaki Uzaklığı Bulalım:
- Hem ağırlık merkezi (G) hem de çevrel çemberin merkezi (O) aynı yükseklik üzerinde yer almaktadır.
- Tepe noktasından G'ye olan uzaklık $AG = rac{16}{3}$ cm.
- Tepe noktasından O'ya olan uzaklık $AO = rac{25}{4}$ cm.
- Bu iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki değerin farkının mutlak değeri olacaktır:
- $GO = |AG - AO| = | rac{16}{3} - rac{25}{4}|$
- Paydaları eşitleyelim (ortak payda $12$):
- $GO = | rac{16 \times 4}{3 \times 4} - rac{25 \times 3}{4 \times 3}| = | rac{64}{12} - rac{75}{12}|$
- $GO = | rac{64 - 75}{12}| = | rac{-11}{12}| = rac{11}{12}$ cm.
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
- Bulduğumuz uzaklık $ rac{11}{12}$ cm'dir. Bu değer $0$, $2$ veya $4$ cm değildir.
- A) Her zaman 0'dır (çakışıktırlar): Yanlış. Sadece eşkenar üçgende ağırlık merkezi ve çevrel çemberin merkezi çakışıktır.
- B) Her zaman 2 cm'dir: Yanlış.
- D) Her zaman 4 cm'dir: Yanlış.
- C) Üçgene bağlı olarak değişir: Doğru. İkizkenar üçgenlerde ağırlık merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklık, üçgenin kenar uzunluklarına göre değişir. Bizim üçgenimiz için bu uzaklık $ rac{11}{12}$ cm olarak belirli bir değer almıştır. Bu da uzaklığın üçgenin özelliklerine bağlı olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
