Bir ifadenin polinom olup olmadığını kontrol eden bir öğrenci, aşağıdaki ifadeleri incelemiştir:
I. $2x^2 + 3x - 1$
II. $x^{1/3} + 2x$
III. $5x^{-2} + x + 4$
Buna göre bu öğrenci hangi ifadeleri polinom olarak işaretlemelidir?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için temel kural, değişkenlerin (bu durumda $x$) üslerinin doğal sayı (yani sıfır veya pozitif tam sayı) olması gerektiğidir. Ayrıca, değişkenler kök içinde veya paydada bulunmamalıdır.
- Polinomun Tanımı: Bir ifade, eğer değişkenin üsleri sadece $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi doğal sayılar ise bir polinomdur. Katsayılar herhangi bir reel sayı olabilir.
- İfade I: $2x^2 + 3x - 1$
- Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $2$, $1$ (çünkü $3x = 3x^1$) ve $0$ (çünkü $-1 = -1x^0$) şeklindedir.
- $2$, $1$ ve $0$ doğal sayılardır.
- Bu nedenle, ifade I bir polinomdur.
- İfade II: $x^{1/3} + 2x$
- Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $1/3$ ve $1$ şeklindedir.
- $1/3$ bir doğal sayı değildir (bir kesirli sayıdır).
- Bu nedenle, ifade II bir polinom değildir. (Unutmayın, $x^{1/3}$ ifadesi $\sqrt[3]{x}$ olarak da yazılabilir ve değişken kök içinde olmamalıdır.)
- İfade III: $5x^{-2} + x + 4$
- Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $-2$, $1$ ve $0$ şeklindedir.
- $-2$ bir doğal sayı değildir (bir negatif tam sayıdır).
- Bu nedenle, ifade III bir polinom değildir. (Unutmayın, $x^{-2}$ ifadesi $1/x^2$ olarak da yazılabilir ve değişken paydada olmamalıdır.)
Yukarıdaki incelemelere göre, sadece I numaralı ifade polinom tanımına uymaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
