Bir veri grubunda 8, 12, 15, 18, 22 sayıları bulunmaktadır. Bu veri grubuna bir sayı daha eklendiğinde medyan 15'ten 16'ya çıktığına göre, eklenen sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 14
B) 16
C) 17
D) 20
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir veri grubuna yeni bir sayı eklendiğinde medyanın nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Medyan, bir veri grubundaki sayıların küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada yer alan sayıdır. Hadi adım adım çözelim:
- 1. Adım: İlk Veri Grubunun Medyanını Bulalım
- Veri grubumuz: 8, 12, 15, 18, 22
- Bu sayılar zaten küçükten büyüğe doğru sıralanmıştır.
- Veri grubundaki sayı adedi (n) 5'tir. Tek sayıda veri olduğunda medyan, ortadaki sayıdır.
- Ortadaki sayıyı bulmak için $ (n+1)/2 $ formülünü kullanırız. Yani $ (5+1)/2 = 3 $. terim medyandır.
- Veri grubumuzdaki 3. terim 15'tir. Bu, soruda verilen bilgiyle (medyanın 15 olduğu) uyumludur.
- 2. Adım: Yeni Veri Grubunun Özelliklerini Belirleyelim
- Veri grubuna bir sayı daha eklendiğinde, toplam veri adedi $ 5+1=6 $ olacaktır.
- Çift sayıda veri olduğunda medyan, ortadaki iki sayının ortalamasıdır.
- Ortadaki iki sayı, $ (n/2) $. terim ve $ (n/2+1) $. terimdir. Yani $ (6/2)=3 $. terim ve $ (6/2+1)=4 $. terimdir.
- Soruda yeni medyanın 16 olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, 3. terim ile 4. terimin ortalaması 16 olmalıdır.
- Yani, $ (3. \text{ terim} + 4. \text{ terim}) / 2 = 16 $ olmalıdır.
- Bu denklemi çözdüğümüzde, $ 3. \text{ terim} + 4. \text{ terim} = 32 $ sonucuna ulaşırız.
- 3. Adım: Seçenekleri Deneyerek Eklenen Sayıyı Bulalım
Şimdi, verilen seçeneklerdeki sayıları orijinal veri grubuna (8, 12, 15, 18, 22) ekleyip, yeni veri grubunu küçükten büyüğe sıralayarak 3. ve 4. terimlerin toplamının 32 olup olmadığını kontrol edelim:
- A) Eklenen sayı 14 olsaydı:
- Yeni veri grubu (sıralanmış): 8, 12, 14, 15, 18, 22
- 3. terim: 14
- 4. terim: 15
- Medyan: $ (14 + 15) / 2 = 29 / 2 = 14.5 $ (Bu, 16 değildir.)
- B) Eklenen sayı 16 olsaydı:
- Yeni veri grubu (sıralanmış): 8, 12, 15, 16, 18, 22
- 3. terim: 15
- 4. terim: 16
- Medyan: $ (15 + 16) / 2 = 31 / 2 = 15.5 $ (Bu, 16 değildir.)
- C) Eklenen sayı 17 olsaydı:
- Yeni veri grubu (sıralanmış): 8, 12, 15, 17, 18, 22
- 3. terim: 15
- 4. terim: 17
- Medyan: $ (15 + 17) / 2 = 32 / 2 = 16 $ (Bu, aradığımız değerdir!)
- D) Eklenen sayı 20 olsaydı:
- Yeni veri grubu (sıralanmış): 8, 12, 15, 18, 20, 22
- 3. terim: 15
- 4. terim: 18
- Medyan: $ (15 + 18) / 2 = 33 / 2 = 16.5 $ (Bu, 16 değildir.)
Eklenen sayı 17 olduğunda, yeni veri grubunun medyanı 16 olmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
