9. Sınıf ayrık olay nedir? Test 1

Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten büyük veya çift sayı olma olasılığı hesaplanmak isteniyor. Bu iki olayın ayrık olup olmadığını belirleyiniz.

A) Ayrıktır çünkü kesişimleri boş kümedir
B) Ayrıktır çünkü birleşimleri örnek uzayı verir
C) Ayrık değildir çünkü ortak elemanları vardır
D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir zar atma deneyiyle ilgili olasılık sorumuzu adım adım, dikkatlice inceleyelim ve çözümleyelim. Bu tür soruları çözerken, öncelikle tüm olası durumları ve ilgilendiğimiz olayları net bir şekilde tanımlamamız çok önemlidir.

• Adım 1: Örnek Uzayı Belirleyelim

  Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek tüm olası sonuçların kümesine örnek uzay denir. Standart bir zarın 6 yüzü olduğu için örnek uzayımız ($S$) şu şekildedir:

  $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• Adım 2: İlgilenilen Olayları Tanımlayalım

  Sorumuzda iki farklı olaydan bahsediliyor. Bu olayları ayrı ayrı tanımlayalım:

  • Olay A: Üst yüze gelen sayının 3'ten büyük olması.

    Örnek uzaydaki sayılardan 3'ten büyük olanları seçelim:

    $A = \{4, 5, 6\}$

  • Olay B: Üst yüze gelen sayının çift sayı olması.

    Örnek uzaydaki çift sayıları seçelim:

    $B = \{2, 4, 6\}$

• Adım 3: Olayların Kesişimini Bulalım

  İki olayın kesişimi ($A \cap B$), her iki olayın da aynı anda gerçekleştiği durumları ifade eder. Yani, hem 3'ten büyük hem de çift olan sayıları bulmalıyız. A ve B kümelerinin ortak elemanlarına bakalım:

  $A = \{4, 5, 6\}$

  $B = \{2, 4, 6\}$

  Ortak elemanlar 4 ve 6'dır. Dolayısıyla kesişim kümesi:

  $A \cap B = \{4, 6\}$

• Adım 4: Ayrık Olay Kavramını Anlayalım

  İki olayın ayrık (veya karşılıklı dışlayıcı) olaylar olması demek, bu iki olayın aynı anda gerçekleşmesinin mümkün olmaması demektir. Matematiksel olarak, eğer iki olayın kesişim kümesi boş küme ($\emptyset$) ise, bu olaylar ayrıktır.

  Yani, eğer $A \cap B = \emptyset$ ise A ve B olayları ayrıktır.

• Adım 5: Olayların Ayrık Olup Olmadığına Karar Verelim

  Adım 3'te bulduğumuz kesişim kümesi $A \cap B = \{4, 6\}$ idi. Bu küme boş küme değildir çünkü içinde 4 ve 6 elemanları bulunmaktadır. Bu durum, hem 3'ten büyük hem de çift sayı olan sonuçların (4 ve 6) var olduğu anlamına gelir. Yani bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir.

  Kesişim boş küme olmadığı için, A ve B olayları ayrık değildir.

• Adım 6: Seçenekleri Değerlendirelim

  Yaptığımız analize göre, olaylar ayrık değildir çünkü ortak elemanları (4 ve 6) vardır. Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) Ayrıktır çünkü kesişimleri boş kümedir (Yanlış, kesişim boş küme değil).
  • B) Ayrıktır çünkü birleşimleri örnek uzayı verir (Yanlış, ayrık değil ve birleşimleri örnek uzayı vermesi ayrık olup olmadığını belirlemez).
  • C) Ayrık değildir çünkü ortak elemanları vardır (Doğru, kesişim kümesi boş değil).
  • D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır (Yanlış, ayrık olmama nedeni ortak elemanların olmasıdır, bağımsızlık farklı bir kavramdır).

Cevap C seçeneğidir.