A = {1, 3, 5, 7, 9} ve B = {2, 4, 6, 8, 10} kümeleri veriliyor. Bu kümelerden rastgele bir eleman seçildiğinde, A kümesinden tek sayı veya B kümesinden çift sayı seçilmesi olayları için ne söylenebilir?
A) Ayrık olaylardır çünkü kümelerin kesişimi boştur
B) Ayrık olaylardır çünkü tüm elemanlar farklıdır
C) Ayrık değildir çünkü her iki kümede de sayılar vardır
D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen iki kümeden rastgele eleman seçilmesi olaylarının "ayrık olaylar" olup olmadığını değerlendirmemiz isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- Adım 1: Verilen Kümeleri ve Olayları Tanımlayalım.
- A kümesi: $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$. Bu kümedeki tüm sayılar tek sayılardır.
- B kümesi: $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. Bu kümedeki tüm sayılar çift sayılardır.
- Birinci olay: "A kümesinden tek sayı seçilmesi". Bu olayın gerçekleşmesi demek, A kümesindeki elemanlardan birinin seçilmesi demektir.
- İkinci olay: "B kümesinden çift sayı seçilmesi". Bu olayın gerçekleşmesi demek, B kümesindeki elemanlardan birinin seçilmesi demektir.
- Adım 2: "Ayrık Olaylar" Kavramını Anlayalım.
- İki olayın "ayrık olaylar" (veya karşılıklı dışlayıcı olaylar) olması demek, bu iki olayın aynı anda gerçekleşmesinin mümkün olmaması demektir.
- Matematiksel olarak, eğer iki olayın sonuç kümelerinin kesişimi boş küme ise, yani ortak hiçbir elemanları yoksa, bu olaylar ayrık olaylardır.
- Adım 3: Olayların Kesişimini İnceleyelim.
- Birinci olayın sonuçları A kümesindeki elemanlardır. İkinci olayın sonuçları B kümesindeki elemanlardır.
- Bu iki olayın aynı anda gerçekleşip gerçekleşemeyeceğini anlamak için A ve B kümelerinin kesişimine bakarız: $A \cap B$.
- $A \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 4, 6, 8, 10\}$
- Gördüğümüz gibi, bu iki kümenin ortak hiçbir elemanı yoktur. Yani, $A \cap B = \emptyset$ (boş küme).
- Adım 4: Sonuç Çıkaralım.
- Kesişimleri boş küme olduğu için, "A kümesinden tek sayı seçilmesi" olayı ile "B kümesinden çift sayı seçilmesi" olayı aynı anda gerçekleşemez. Örneğin, hem A kümesinden hem de B kümesinden aynı anda bir sayı seçemeyiz, çünkü A'daki sayılar tek, B'deki sayılar çifttir ve bu kümeler birbirinden tamamen farklı elemanlara sahiptir.
- Bu nedenle, bu iki olay "ayrık olaylardır".
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim.
- A) Ayrık olaylardır çünkü kümelerin kesişimi boştur. Bu ifade, yaptığımız analizle tamamen uyumludur ve ayrık olayların matematiksel tanımını doğru bir şekilde yansıtır.
- B) Ayrık olaylardır çünkü tüm elemanlar farklıdır. Elemanların farklı olması ayrık olmanın bir sonucudur, ancak "kümelerin kesişiminin boş olması" ayrık olayların temel ve daha kesin matematiksel tanımıdır. Bu seçenek doğru olsa da A seçeneği daha açıklayıcıdır.
- C) Ayrık değildir çünkü her iki kümede de sayılar vardır. Bu yanlış bir çıkarımdır. Kümelerde sayı olması, olayların ayrık olmasını engellemez.
- D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır. Ayrık olaylar ve bağımsız olaylar farklı kavramlardır. Kesişim boş olduğu için bu olaylar ayrık olaylardır.
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, doğru seçeneğin A olduğunu açıkça görebiliriz.
Cevap A seçeneğidir.
