Hilesiz bir zar atıldığında, "üst yüze gelen sayının asal sayı olması" ve "üst yüze gelen sayının çift sayı olması" olayları için ne söylenebilir?
A) Ayrıktır çünkü asal sayılar tek sayılardır
B) Ayrıktır çünkü hiçbir sayı hem asal hem çift değildir
C) Ayrık değildir çünkü 2 sayısı hem asal hem çifttir
D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, olasılık kavramları içinde önemli bir yer tutan "ayrık olaylar" konusunu bir zar atma deneyi üzerinden inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu tam olarak anlayalım.
- Adım 1: Örnek Uzayı Belirleyelim
- Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek tüm olası sonuçlar kümesine "örnek uzay" denir. Bir zarın 6 yüzü olduğu için, örnek uzayımız şudur: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
- Adım 2: Birinci Olayı (Asal Sayı Olması) Tanımlayalım
- "Üst yüze gelen sayının asal sayı olması" olayına A diyelim. Asal sayılar, 1'den büyük olup sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Örnek uzayımızdaki asal sayılar şunlardır: $A = \{2, 3, 5\}$. (Unutmayın, 1 asal sayı değildir.)
- Adım 3: İkinci Olayı (Çift Sayı Olması) Tanımlayalım
- "Üst yüze gelen sayının çift sayı olması" olayına B diyelim. Çift sayılar, 2'ye kalansız bölünebilen sayılardır. Örnek uzayımızdaki çift sayılar şunlardır: $B = \{2, 4, 6\}$.
- Adım 4: Ayrık Olaylar Kavramını Anlayalım
- İki olayın "ayrık olaylar" (veya "karşılıklı dışlayıcı olaylar") olması demek, bu iki olayın aynı anda gerçekleşmesinin mümkün olmaması demektir. Yani, bu iki olayın kesişim kümesi boş küme olmalıdır. Matematiksel olarak $A \cap B = \emptyset$ ise A ve B olayları ayrıktır denir.
- Adım 5: Olayların Kesişimini İnceleyelim
- Şimdi A ve B olaylarının kesişim kümesini bulalım. Yani, hem A kümesinde hem de B kümesinde ortak olan eleman var mı diye bakalım:
- $A = \{2, 3, 5\}$
- $B = \{2, 4, 6\}$
- Gördüğümüz gibi, her iki kümede de ortak olan bir eleman var: 2 sayısı. Yani, $A \cap B = \{2\}$.
- Adım 6: Sonuca Ulaşalım
- Kesişim kümesi boş küme olmadığı için ($A \cap B \neq \emptyset$), bu iki olay ayrıktır denilemez. Çünkü 2 sayısı hem asal bir sayı hem de çift bir sayıdır. Bu durum, her iki olayın aynı anda gerçekleşebileceği anlamına gelir.
- Adım 7: Seçenekleri Değerlendirelim
-
- A) Ayrıktır çünkü asal sayılar tek sayılardır: Yanlış. 2 sayısı asal olmasına rağmen tek sayı değildir, çifttir.
- B) Ayrıktır çünkü hiçbir sayı hem asal hem çift değildir: Yanlış. 2 sayısı hem asal hem çifttir.
- C) Ayrık değildir çünkü 2 sayısı hem asal hem çifttir: Doğru. Yukarıdaki incelememizle tam olarak örtüşüyor.
- D) Ayrık değildir çünkü bağımsız olaylardır: Yanlış. Olayların ayrık olup olmaması ile bağımsız olup olmaması farklı kavramlardır. Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilememesi durumudur. Bu soruda ayrık olup olmadığı soruluyor.
Cevap C seçeneğidir.
