Bir dairenin yarıçapı 6 cm'dir. Bu dairenin içine çizilebilen en büyük alanlı dikdörtgenin kenar uzunluklarının geometrik ortalaması kaç cm'dir?
A) 3√2Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir dairenin içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin özelliklerini ve kenar uzunluklarının geometrik ortalamasını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Dairenin Yarıçapı ve Çapı:
Soruda dairenin yarıçapı $r = 6$ cm olarak verilmiştir. Bir dairenin çapı, yarıçapının iki katıdır. Bu durumda dairenin çapı $D = 2r = 2 \times 6 = 12$ cm olur.
2. En Büyük Alanlı Dikdörtgenin Özelliği:
Bir dairenin içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen, her zaman bir karedir. Bu karenin köşeleri dairenin çevresi üzerinde bulunur ve karenin köşegen uzunluğu dairenin çapına eşittir.
3. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:
Karenin kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Karenin köşegen uzunluğu dairenin çapına eşit olduğundan, $12$ cm'dir. Bir karede köşegen, kenarlar arasında Pisagor teoremiyle ilişkilidir: $a^2 + a^2 = (\text{köşegen})^2$.
$2a^2 = 12^2$
$2a^2 = 144$
$a^2 = \frac{144}{2}$
$a^2 = 72$
$a = \sqrt{72}$
$a = \sqrt{36 \times 2}$
$a = 6\sqrt{2}$ cm.
Yani, dairenin içine çizilebilen en büyük alanlı dikdörtgen (kare) kenar uzunlukları $6\sqrt{2}$ cm olan bir karedir.
4. Kenar Uzunluklarının Geometrik Ortalamasını Bulma:
Birbirine eşit iki sayının (burada karenin kenar uzunlukları $x$ ve $y$) geometrik ortalaması $\sqrt{xy}$ formülüyle bulunur. Karenin kenar uzunlukları $x = 6\sqrt{2}$ cm ve $y = 6\sqrt{2}$ cm olduğundan:
Geometrik Ortalama $= \sqrt{(6\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2})}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt{36 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt{36 \times 2}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt{72}$
Geometrik Ortalama $= 6\sqrt{2}$ cm.
Matematiksel olarak doğru çözüm adımları yukarıdaki gibidir ve sonuç $6\sqrt{2}$ cm'dir. Bu sonuç A seçeneğine karşılık gelmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
