R hangi sayı kümesidir? Test 1

Hangi işlemin sonucu her zaman reel sayılar kümesinde yer alır?

A) $\sqrt{a}$ (a negatif reel sayı)
B) $\frac{a}{b}$ (b = 0)
C) $a + b$ (a ve b reel sayı)
D) $\log(a)$ (a ≤ 0)

Bu soruda, verilen işlemlerden hangisinin sonucunun her zaman reel sayılar kümesinde yer aldığını bulmamız isteniyor. Reel sayılar kümesi, günlük hayatta kullandığımız tüm pozitif, negatif sayılar, sıfır, kesirli sayılar, köklü sayılar ve irrasyonel sayıları (örneğin $\pi$) içeren geniş bir kümedir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $\sqrt{a}$ (a negatif reel sayı)

  Bu seçenekte, $a$ negatif bir reel sayı olarak verilmiştir. Reel sayılar kümesinde, negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir. Örneğin, $a = -4$ alırsak, $\sqrt{-4}$ işleminin sonucu $2i$ olur. $i$ sanal birimdir ve $i^2 = -1$ eşitliğini sağlar. $2i$ bir sanal sayıdır ve reel sayılar kümesinde yer almaz. Dolayısıyla, bu işlemin sonucu her zaman reel sayı değildir.

• B) $\frac{a}{b}$ (b = 0)

  Bu seçenekte, bir sayının sıfıra bölümü söz konusudur. Matematikte sıfıra bölme işlemi tanımsızdır. Reel sayılar kümesinde (veya herhangi bir sayı kümesinde) bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde bir sonuç elde edemeyiz. Bu nedenle, bu işlemin sonucu hiçbir zaman reel bir sayı olamaz.

• C) $a + b$ (a ve b reel sayı)

  Bu seçenekte, $a$ ve $b$ gibi iki reel sayının toplamı sorulmuştur. Reel sayılar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır. Bu, herhangi iki reel sayıyı topladığımızda sonucun daima bir reel sayı olacağı anlamına gelir. Örneğin:

  • $2 + 3 = 5$ (5 bir reel sayıdır)
  • $-1.5 + 0.7 = -0.8$ (-0.8 bir reel sayıdır)
  • $\sqrt{2} + \pi$ (Bu da bir reel sayıdır)

  Bu işlem her zaman bir reel sayı sonucu verir.

• D) $\log(a)$ (a ≤ 0)

  Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi, pozitif reel sayılardır. Yani $\log(x)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $x > 0$ olması gerekir. Eğer $a \le 0$ ise, logaritma işlemi reel sayılar kümesinde tanımlı değildir. Örneğin:

  • $\log(0)$ tanımsızdır.
  • $\log(-5)$ reel bir sayı değildir (karmaşık bir sayıdır).

  Dolayısıyla, bu işlemin sonucu her zaman reel sayı değildir.

Yukarıdaki analizlere göre, sadece iki reel sayının toplamı her zaman bir reel sayı sonucunu verir.

Cevap C seçeneğidir.