Ahmet ve Mehmet kardeşler, birlikte bir proje ödevi hazırlamaktadır. Ahmet'in çalışma hızı Mehmet'in çalışma hızının \( \frac{2}{3} \)'ü kadardır. İkisi birlikte çalıştıklarında bu ödevi 6 saatte bitirdiklerine göre, Mehmet bu ödevi tek başına kaç saatte bitirir?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde Ahmet ve Mehmet'in çalışma hızları arasındaki ilişkiyi ve birlikte çalıştıklarında ne kadar sürede işi bitirdiklerini kullanarak, Mehmet'in tek başına işi ne kadar sürede bitireceğini bulacağız. Bu tür problemler, genellikle işçi-havuz problemleri olarak adlandırılır ve hız ile zaman arasındaki ters orantıyı anlamak çok önemlidir.
Soruda Ahmet'in çalışma hızının Mehmet'in çalışma hızının $ \frac{2}{3} $'ü kadar olduğu belirtiliyor. Eğer Mehmet'in hızına $V_M$ dersek, Ahmet'in hızı $V_A = \frac{2}{3} V_M$ olur.
Bir işi bitirme hızı ile o işi tek başına bitirme süresi ters orantılıdır. Yani, bir kişi ne kadar hızlıysa, işi o kadar kısa sürede bitirir. Bu durumda, hız, birim zamanda yapılan iş miktarı olarak düşünülebilir.
Mehmet'in bu ödevi tek başına $t_M$ saatte bitirdiğini varsayalım. O zaman Mehmet'in bir saatteki çalışma hızı (iş yapma oranı) $ \frac{1}{t_M} $ olur.
Ahmet'in bu ödevi tek başına $t_A$ saatte bitirdiğini varsayalım. O zaman Ahmet'in bir saatteki çalışma hızı (iş yapma oranı) $ \frac{1}{t_A} $ olur.
Şimdi, hızlar arasındaki ilişkiyi zaman cinsinden yazabiliriz: $ \frac{1}{t_A} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{t_M} $.
Ahmet ve Mehmet birlikte çalıştıklarında bu ödevi 6 saatte bitiriyorlar. Bu, onların bir saatte yaptıkları işin toplamının, işin $ \frac{1}{6} $'sına eşit olduğu anlamına gelir.
Yani, Ahmet'in bir saatteki işi + Mehmet'in bir saatteki işi = Birlikte bir saatteki iş
$ \frac{1}{t_A} + \frac{1}{t_M} = \frac{1}{6} $
Adım 2'de bulduğumuz $ \frac{1}{t_A} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{t_M} $ ifadesini Adım 3'teki denkleme yerine yazalım:
$ \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{t_M} \right) + \frac{1}{t_M} = \frac{1}{6} $
Şimdi $ \frac{1}{t_M} $ parantezine alalım:
$ \frac{1}{t_M} \left( \frac{2}{3} + 1 \right) = \frac{1}{6} $
Parantez içindeki ifadeyi toplayalım ($1 = \frac{3}{3}$):
$ \frac{1}{t_M} \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \right) = \frac{1}{6} $
$ \frac{1}{t_M} \left( \frac{5}{3} \right) = \frac{1}{6} $
Bu ifadeyi düzenleyelim:
$ \frac{5}{3t_M} = \frac{1}{6} $
Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
$ 5 \times 6 = 3t_M \times 1 $
$ 30 = 3t_M $
Her iki tarafı 3'e bölelim:
$ t_M = \frac{30}{3} $
$ t_M = 10 $ saat.
Yani, Mehmet bu ödevi tek başına 10 saatte bitirir.
Cevap B seçeneğidir.
