Görüntü kümesi nedir? Test 1

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 2x - 5 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

A) (-∞, ∞)
B) [-5, ∞)
C) [5, ∞)
D) (-∞, 5]

Sevgili öğrenciler, bu soruda $f(x) = 2x - 5$ fonksiyonunun görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Görüntü kümesi, bir fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerinin (yani $f(x)$ değerlerinin) kümesidir.

• Fonksiyonun Türünü Belirleyelim: Verilen $f(x) = 2x - 5$ fonksiyonu, genel olarak $f(x) = ax + b$ şeklinde olan bir doğrusal fonksiyondur. Burada $a = 2$ ve $b = -5$'tir.
• Tanım Kümesini Anlayalım: Soruda fonksiyonun "gerçek sayılarda tanımlı" olduğu belirtilmiştir. Bu, $x$ değişkeninin $(-\infty, \infty)$ aralığındaki tüm gerçek sayı değerlerini alabileceği anlamına gelir. Yani $x \in \mathbb{R}$'dir.
• Doğrusal Fonksiyonların Özelliği: $a \neq 0$ olmak üzere, $f(x) = ax + b$ şeklindeki doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğrudur. Bu doğru, $x$ ekseni boyunca sonsuzdan sonsuza uzandığı gibi, $y$ ekseni boyunca da sonsuzdan sonsuza uzanır. Bu, fonksiyonun herhangi bir gerçek $y$ değerini alabileceği anlamına gelir.
• Görüntü Kümesini Adım Adım Oluşturalım:

  Eğer $x$ bir gerçek sayı ise ($x \in \mathbb{R}$), $x$ sonsuzdan sonsuza tüm değerleri alabilir.

  $x$'i $2$ ile çarptığımızda elde ettiğimiz $2x$ de tüm gerçek sayı değerlerini alabilir ($2x \in \mathbb{R}$). Çünkü bir gerçek sayıyı sıfırdan farklı bir gerçek sayıyla çarpmak, gerçek sayılar kümesini kısıtlamaz; sadece değerleri ölçeklendirir.

  Son olarak, $2x$'ten $5$ çıkardığımızda elde ettiğimiz $2x - 5$ de tüm gerçek sayı değerlerini alabilir ($2x - 5 \in \mathbb{R}$). Çünkü bir gerçek sayıdan başka bir gerçek sayıyı çıkarmak da gerçek sayılar kümesini kısıtlamaz; sadece değerleri kaydırır.

• Sonuç: $f(x) = 2x - 5$ fonksiyonu, $x$ gerçek sayılar kümesinden herhangi bir değer aldığında, $f(x)$ de tüm gerçek sayı değerlerini alabilir. Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu küme, aralık gösterimiyle $(-\infty, \infty)$ şeklinde ifade edilir.

Cevap A seçeneğidir.