Görüntü kümesi nedir? Test 1

f: [-1, 2] → R, f(x) = x² - 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [0, 4]
B) [1, 4]
C) [0, 1]
D) [-1, 4]

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki görüntü kümesini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ve tanım kümemiz $[-1, 2]$ aralığıdır.

• 1. Adım: Fonksiyonu Tanıyalım ve Basitleştirelim.

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 2x + 1$ bir parabol denklemidir. Bu ifadeyi dikkatlice incelersek, bunun aslında bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz:

  $f(x) = (x-1)^2$

  Bu form, fonksiyonun davranışını anlamamızı kolaylaştıracaktır. Parabolün tepe noktası $(1, 0)$ noktasındadır ve kolları yukarı doğru açılır (çünkü $x^2$'nin katsayısı pozitiftir).

• 2. Adım: Tanım Kümesini ve Tepe Noktasını Karşılaştıralım.

  Tanım kümemiz $x \in [-1, 2]$ aralığıdır. Yani $x$ değerleri $-1$ ile $2$ arasında olabilir.

  Fonksiyonun tepe noktasının $x$-koordinatı $x=1$'dir. Bu değer, verilen tanım kümesi olan $[-1, 2]$ aralığının içindedir. Bu çok önemli! Çünkü tepe noktası aralığın içindeyse, parabolün minimum veya maksimum değeri (kolların yönüne göre) bu noktada olacaktır.

  Kollar yukarı doğru açıldığı için, tepe noktası fonksiyonun bu aralıktaki minimum değerini verecektir.

  Minimum değer: $f(1) = (1-1)^2 = 0^2 = 0$.

• 3. Adım: Tanım Kümesinin Uç Noktalarındaki Değerleri Bulalım.

  Bir parabolün belirli bir aralıktaki görüntü kümesini bulurken, tepe noktasının yanı sıra tanım kümesinin uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini de hesaplamamız gerekir. Bu değerler bize aralıktaki maksimum değeri bulmada yardımcı olacaktır.

  Sol uç nokta için $x = -1$:

  $f(-1) = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$

  Sağ uç nokta için $x = 2$:

  $f(2) = (2-1)^2 = (1)^2 = 1$

• 4. Adım: Minimum ve Maksimum Değerleri Belirleyelim.

  Şimdiye kadar bulduğumuz değerleri bir araya getirelim:

  Tepe noktasındaki değer (minimum): $f(1) = 0$

  Sol uç noktadaki değer: $f(-1) = 4$

  Sağ uç noktadaki değer: $f(2) = 1$

  Bu değerler arasında en küçüğü $0$, en büyüğü ise $4$'tür.

  Fonksiyon sürekli olduğu için, tanım kümesi üzerindeki tüm $x$ değerleri için bu minimum ve maksimum değerler arasındaki tüm $y$ değerlerini alacaktır.

• 5. Adım: Görüntü Kümesini Yazalım.

  Fonksiyonun tanım kümesi $[-1, 2]$ üzerinde aldığı en küçük değer $0$, en büyük değer ise $4$'tür. Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşur ve kapalı aralık olarak ifade edilir.

  Görüntü Kümesi = $[0, 4]$

Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.