Bir kürenin yarıçapı 3 katına çıkarılırsa hacmi kaç katına çıkar?
A) 3Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kürenin yarıçapı değiştiğinde hacminin nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere şu formülle bulunur:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Bu formül bize, kürenin hacminin yarıçapın küpüyle ($r^3$) doğru orantılı olduğunu gösterir. Yani yarıçap ne kadar artarsa, hacim onun küpü kadar daha hızlı artar.
Başlangıçtaki kürenin yarıçapına $r_1$ diyelim. Bu durumda, başlangıçtaki hacmi $V_1$ şu şekilde ifade edebiliriz:
$V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$
Soruda, kürenin yarıçapının 3 katına çıkarıldığı belirtiliyor. O zaman yeni yarıçap $r_2$ şöyle olur:
$r_2 = 3 \times r_1$
Şimdi yeni yarıçap $r_2$ kullanarak kürenin yeni hacmini $V_2$ hesaplayalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$
$r_2$ yerine $3r_1$ yazalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (3r_1)^3$
Parantez içindeki ifadeyi küpünü alarak açalım. Unutmayın, $(ab)^3 = a^3 b^3$ kuralını kullanacağız:
$(3r_1)^3 = 3^3 \times r_1^3 = 27r_1^3$
Şimdi bu ifadeyi $V_2$ formülüne geri yazalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (27r_1^3)$
Bu ifadeyi yeniden düzenleyebiliriz:
$V_2 = 27 \times (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$
Başlangıçtaki hacmin $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ olduğunu biliyoruz. Yeni hacim $V_2$ için bulduğumuz ifadeye dikkatlice bakarsak:
$V_2 = 27 \times (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$
Buradaki $(\frac{4}{3}\pi r_1^3)$ kısmı tam olarak başlangıçtaki hacim $V_1$'e eşittir. O zaman yerine $V_1$ yazabiliriz:
$V_2 = 27 \times V_1$
Bu sonuç bize, kürenin yarıçapı 3 katına çıkarıldığında hacminin 27 katına çıktığını gösterir.
Cevap D seçeneğidir.
