9. Sınıf Temel Orantı Teoremi Nedir? Test 1

Bir inşaat mühendisi, eğimli bir zemine paralel olacak şekilde destek kirişleri yerleştirmektedir. Ana kiriş 15 metre, paralel kiriş 10 metre ve paralel kirişin üst ucu ile ana kirişin üst ucu arasındaki düşey mesafe 2 metre olduğuna göre, eğimli zeminin toplam yüksekliği kaç metredir?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 8

Bu problem, eğimli bir zeminde yerleştirilen kirişler aracılığıyla benzer üçgenler prensibini kullanarak zeminin toplam yüksekliğini bulmamızı gerektiren bir geometri sorusudur. Adım adım çözelim:

• 1. Problemi Görselleştirme ve Temel Anlayış:

  Eğimli bir zemin, bir dik üçgenin hipotenüsü gibi düşünülebilir. Zeminin tabanından en yüksek noktasına kadar olan dikey mesafe, bu dik üçgenin yüksekliğini oluşturur. Kirişler zemine paralel yerleştirildiği için, zeminin eğim açısı sabittir. Bu durumda, farklı uzunluktaki kirişlerin oluşturduğu noktalarla, zeminin tamamının oluşturduğu dik üçgenler birbirine benzer olacaktır.

  Ana kirişin uzunluğu 15 metre, paralel kirişin uzunluğu ise 10 metredir. Bu uzunlukları, eğimli zeminin tabanından itibaren ölçülen mesafeler olarak kabul edebiliriz. Yani, 10 metrelik kirişin üst ucu, zeminin tabanından 10 metre yukarıda (eğim boyunca) bir noktayı, 15 metrelik kirişin üst ucu ise zeminin tabanından 15 metre yukarıda (eğim boyunca) bir noktayı temsil eder. Bu iki nokta, zeminin farklı yüksekliklerine karşılık gelir.

• 2. Verilen Bilgileri Belirleme ve Değişkenleri Tanımlama:
  • Ana kirişin uzunluğu ($L_1$) = 15 metre.
  • Paralel kirişin uzunluğu ($L_2$) = 10 metre.
  • Paralel kirişin üst ucu ile ana kirişin üst ucu arasındaki düşey mesafe ($h_d$) = 2 metre.
  • Aradığımız değer: Eğimli zeminin toplam yüksekliği ($H$).
  • 10 metrelik kirişin üst ucunun yerden yüksekliği ($h_2$) olsun.
• 3. Benzer Üçgenler Prensibini Uygulama:

  Eğimli zemin ve kirişler, aynı eğim açısına sahip iki benzer dik üçgen oluşturur:

  • Büyük üçgen: Hipotenüsü 15 metre (ana kirişin uzunluğu) ve yüksekliği $H$ (zeminin toplam yüksekliği) olan üçgen.
  • Küçük üçgen: Hipotenüsü 10 metre (paralel kirişin uzunluğu) ve yüksekliği $h_2$ (10 metrelik kirişin üst ucunun yerden yüksekliği) olan üçgen.

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, yüksekliklerin hipotenüslere oranı aynı olacaktır:

  $\frac{h_2}{L_2} = \frac{H}{L_1}$

  Verilen değerleri yerine yazarsak:

  $\frac{h_2}{10} = \frac{H}{15}$

• 4. Denklemi Kurma ve Çözme:

  Problemin kilit noktası, paralel kirişin üst ucu ile ana kirişin üst ucu arasındaki düşey mesafenin 2 metre olmasıdır. Bu, zeminin toplam yüksekliği ($H$) ile 10 metrelik kirişin yüksekliği ($h_2$) arasındaki farkın 2 metre olduğu anlamına gelir:

  $H - h_2 = 2$ metre

  Bu denklemden $h_2$ değerini $H$ cinsinden ifade edebiliriz:

  $h_2 = H - 2$

  Şimdi bu ifadeyi benzer üçgenler oranına yerleştirelim:

  $\frac{H - 2}{10} = \frac{H}{15}$

  Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:

  $15 \times (H - 2) = 10 \times H$

  $15H - 30 = 10H$

  $15H - 10H = 30$

  $5H = 30$

  $H = \frac{30}{5}$

  $H = 6$ metre

  Buna göre, eğimli zeminin toplam yüksekliği 6 metredir.

Cevap C seçeneğidir.