Sevgili öğrenciler, bu soruda bir açık önermenin doğruluk kümesinin ne anlama geldiğini ve ne zaman boş küme olacağını adım adım inceleyeceğiz.
Öncelikle temel kavramları hatırlayalım:
- Açık Önerme: İçinde değişken (genellikle $x$) bulunan ve bu değişkenin alacağı değerlere göre doğru veya yanlış olabilen bir ifadedir. Örneğin, "$x$ bir çift sayıdır" bir açık önermedir.
- Doğruluk Kümesi: Bir açık önermeyi doğru yapan tüm değişken değerlerinin kümesidir. Eğer önermeyi doğru yapan hiçbir değişken değeri yoksa, o zaman doğruluk kümesi boş kümedir ($\emptyset$).
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek hangi açık önermenin doğruluk kümesinin boş küme olduğunu bulalım:
- A) $x + 1 = x + 1$
- Bu önermede, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, eşitlik her zaman doğru olacaktır. Örneğin, $x=5$ için $5+1=5+1 \Rightarrow 6=6$ (Doğru). $x=-2$ için $-2+1=-2+1 \Rightarrow -1=-1$ (Doğru).
- Bu önermeyi doğru yapan tüm gerçek sayılar vardır.
- Doğruluk kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu küme boş küme değildir.
- B) $x > x$
- Bu önermede, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, bir sayının kendisinden büyük olması mümkün değildir. Örneğin, $x=7$ için $7>7$ (Yanlış). $x=0$ için $0>0$ (Yanlış).
- Bu önermeyi doğru yapan hiçbir gerçek sayı yoktur.
- Doğruluk kümesi boş kümedir ($\emptyset$). Bu, aradığımız özelliktir.
- C) $2x = x + x$
- Bu önermeyi düzenlersek, sağ tarafı $x+x = 2x$ olarak yazabiliriz. Böylece önerme $2x = 2x$ haline gelir.
- Bu durumda, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, eşitlik her zaman doğru olacaktır. Örneğin, $x=3$ için $2 \cdot 3 = 3+3 \Rightarrow 6=6$ (Doğru).
- Bu önermeyi doğru yapan tüm gerçek sayılar vardır.
- Doğruluk kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu küme boş küme değildir.
- D) $x - x = 0$
- Bu önermeyi düzenlersek, sol tarafı $x-x = 0$ olarak yazabiliriz. Böylece önerme $0 = 0$ haline gelir.
- Bu durumda, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, eşitlik her zaman doğru olacaktır. Örneğin, $x=10$ için $10-10=0 \Rightarrow 0=0$ (Doğru).
- Bu önermeyi doğru yapan tüm gerçek sayılar vardır.
- Doğruluk kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu küme boş küme değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğindeki "$x > x$" açık önermesinin doğruluk kümesinin boş küme olduğunu görmüş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
