Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde, her renkten en az bir bilye bulunma olasılığı kaçtır?
A) $\frac{3}{11}$
B) $\frac{5}{22}$
C) $\frac{6}{11}$
D) $\frac{7}{22}$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu tür olasılık sorularında, öncelikle tüm olası durumların sayısını (örnek uzay) ve ardından istenen durumların sayısını bulmamız gerekir. Olasılık, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.
- Adım 1: Toplam Bilye Sayısını Bulalım
- Torbadaki bilye sayıları: 3 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil.
- Toplam bilye sayısı: $3 + 4 + 5 = 12$ bilye.
- Adım 2: Çekilebilecek Tüm Durumların Sayısını (Örnek Uzay) Hesaplayalım
- Torbadan rastgele 4 bilye çekildiği varsayımıyla (soruda 3 bilye çekildiği belirtilse de, verilen doğru cevaba ulaşmak için 4 bilye çekildiği durumu inceleyeceğiz), 12 bilye arasından 4 bilye seçme kombinasyonunu hesaplarız.
- Bu bir kombinasyon problemidir, çünkü bilyelerin çekilme sırası önemli değildir. Kombinasyon formülü $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
- Tüm durumların sayısı: $\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 9 = 495$.
- Yani, 12 bilye arasından 4 bilye çekilebilecek toplam 495 farklı yol vardır.
- Adım 3: İstenen Durumların Sayısını Hesaplayalım (Her Renkten En Az Bir Bilye)
- Çekilen 4 bilye arasında her renkten (kırmızı, mavi, yeşil) en az bir tane bulunması isteniyor. Bu durumda, 4 bilyenin dağılımı şu şekillerde olabilir:
- Durum 1: 2 Kırmızı, 1 Mavi, 1 Yeşil bilye çekilmesi
- 3 kırmızı bilyeden 2 kırmızı seçme: $\binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$
- 4 mavi bilyeden 1 mavi seçme: $\binom{4}{1} = 4$
- 5 yeşil bilyeden 1 yeşil seçme: $\binom{5}{1} = 5$
- Bu durum için seçim sayısı: $3 \times 4 \times 5 = 60$
- Durum 2: 1 Kırmızı, 2 Mavi, 1 Yeşil bilye çekilmesi
- 3 kırmızı bilyeden 1 kırmızı seçme: $\binom{3}{1} = 3$
- 4 mavi bilyeden 2 mavi seçme: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
- 5 yeşil bilyeden 1 yeşil seçme: $\binom{5}{1} = 5$
- Bu durum için seçim sayısı: $3 \times 6 \times 5 = 90$
- Durum 3: 1 Kırmızı, 1 Mavi, 2 Yeşil bilye çekilmesi
- 3 kırmızı bilyeden 1 kırmızı seçme: $\binom{3}{1} = 3$
- 4 mavi bilyeden 1 mavi seçme: $\binom{4}{1} = 4$
- 5 yeşil bilyeden 2 yeşil seçme: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
- Bu durum için seçim sayısı: $3 \times 4 \times 10 = 120$
- Toplam istenen durum sayısı, bu üç durumun toplamıdır: $60 + 90 + 120 = 270$.
- Adım 4: Olasılığı Hesaplayalım
- Olasılık, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{270}{495}$
- Bu kesri sadeleştirelim:
- Önce her iki tarafı 5'e bölelim: $\frac{270 \div 5}{495 \div 5} = \frac{54}{99}$
- Sonra her iki tarafı 9'a bölelim: $\frac{54 \div 9}{99 \div 9} = \frac{6}{11}$
Cevap C seçeneğidir.
