"Eğer $x > 5$ ise, $x^2 > 25$" önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Eğer $x^2 > 25$ ise, $x > 5$
B) Eğer $x^2 ≤ 25$ ise, $x ≤ 5$
C) Eğer $x ≤ 5$ ise, $x^2 ≤ 25$
D) Eğer $x^2 ≤ 25$ ise, $x < 5$
Sevgili öğrenciler, bir önermenin karşıt tersini bulmak, mantıkta önemli bir beceridir. Şimdi verilen önermenin karşıt tersini adım adım bulalım:
- Öncelikle, verilen önermeyi $P \implies Q$ şeklinde ifade edelim. Burada $P$ "hipotez" (eğer kısmı) ve $Q$ "hüküm" (ise kısmı) olarak adlandırılır.
- Verilen önerme: "Eğer $x > 5$ ise, $x^2 > 25$"
- Bu önermede, $P$ ifadesi "$x > 5$" ve $Q$ ifadesi "$x^2 > 25$" şeklindedir.
- Bir $P \implies Q$ şeklindeki önermenin karşıt tersi, $\neg Q \implies \neg P$ şeklinde ifade edilir. Yani, hükmün değilinden hipotezin değiline geçilir.
- Şimdi $P$'nin değilini ($\neg P$) ve $Q$'nun değilini ($\neg Q$) bulalım.
- $P$: "$x > 5$" ifadesinin değili ($\neg P$) "$x \le 5$" olur. (Bir sayının 5'ten büyük olmaması demek, 5'ten küçük veya 5'e eşit olması demektir.)
- $Q$: "$x^2 > 25$" ifadesinin değili ($\neg Q$) "$x^2 \le 25$" olur. (Bir sayının karesinin 25'ten büyük olmaması demek, 25'ten küçük veya 25'e eşit olması demektir.)
- Bu değilleri kullanarak karşıt ters önermeyi oluşturalım: $\neg Q \implies \neg P$.
- Yani, karşıt ters önerme "Eğer $x^2 \le 25$ ise, $x \le 5$" şeklindedir.
- Şimdi seçeneklerimizi kontrol edelim.
- A) Eğer $x^2 > 25$ ise, $x > 5$ (Bu, önermenin tersidir.)
- B) Eğer $x^2 \le 25$ ise, $x \le 5$ (Bu, bulduğumuz karşıt ters önermeyle tamamen aynıdır.)
- C) Eğer $x \le 5$ ise, $x^2 \le 25$ (Bu, önermenin karşıtıdır.)
- D) Eğer $x^2 \le 25$ ise, $x < 5$ (Bu seçenekte $P$'nin değili yanlış alınmıştır; $x > 5$'in değili $x \le 5$'tir, $x < 5$ değildir.)
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın B seçeneği olduğunu açıkça görmüş oluruz.
Cevap B seçeneğidir.
