10. Sınıf 3 ve 9 ile Bölünebilme Test 1

Bir öğrenci 5 basamaklı 24A3B sayısının hem 3'e hem de 9'a tam bölündüğünü hesaplıyor. A ve B birer rakam olduğuna göre, A - B farkının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür bölünebilme kuralları soruları, hem mantık yürütme hem de temel matematik bilgimizi kullanmamızı gerektiren eğlenceli problemlerdir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.

• 1. Adım: Bölünebilme Kurallarını Hatırlayalım
  • 9'a Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9'a tam bölünebilmesi için, o sayının rakamları toplamının 9'un bir katı olması gerekir.
  • 3'e Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 3'e tam bölünebilmesi için, o sayının rakamları toplamının 3'ün bir katı olması gerekir.
  • Önemli Not: Eğer bir sayı 9'a tam bölünüyorsa, aynı zamanda 3'e de tam bölünür. Çünkü 9, 3'ün bir katıdır. Bu nedenle, sayının hem 3'e hem de 9'a bölünmesi için sadece 9'a bölünebilme kuralını incelememiz yeterlidir.
• 2. Adım: Sayının Rakamları Toplamını Bulalım

  Verilen sayı $24A3B$. Bu sayının rakamları toplamı:

  $2 + 4 + A + 3 + B = 9 + A + B$

• 3. Adım: $A$ ve $B$ Rakamlarının Değer Aralığını Belirleyelim

  $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için alabilecekleri değerler $0, 1, 2, ..., 9$ arasındadır. Bu durumda:

  • $A$'nın en küçük değeri $0$, en büyük değeri $9$'dur.
  • $B$'nin en küçük değeri $0$, en büyük değeri $9$'dur.

  Dolayısıyla, $A+B$ toplamı en az $0+0=0$ ve en fazla $9+9=18$ olabilir.

• 4. Adım: Rakamlar Toplamının 9'un Katı Olması Durumlarını İnceleyelim

  $9 + A + B$ ifadesi 9'un bir katı olmalıdır. $A+B$ toplamının alabileceği değer aralığına ($0$ ile $18$ arası) göre, $9+A+B$ ifadesi $9+0=9$ ile $9+18=27$ arasında bir değer alabilir. Bu aralıktaki 9'un katları şunlardır: $9, 18, 27$.

  • Durum 1: $9 + A + B = 9$ ise

    Bu durumda $A + B = 0$ olmalıdır. $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için bu eşitliği sağlayan tek durum $A=0$ ve $B=0$ olmasıdır. Bu durumda $A - B = 0 - 0 = 0$ olur.

  • Durum 2: $9 + A + B = 18$ ise

    Bu durumda $A + B = 9$ olmalıdır. Bizden $A - B$ farkının en büyük değeri isteniyor. Bu farkın en büyük olması için $A$'nın olabildiğince büyük, $B$'nin ise olabildiğince küçük olması gerekir. $B$ bir rakam olduğu için alabileceği en küçük değer $0$'dır. Eğer $B=0$ ise, $A+0=9 \implies A=9$ olur. Bu durumda $A=9$ ve $B=0$ değerleri için $A - B = 9 - 0 = 9$ olur.

  • Durum 3: $9 + A + B = 27$ ise

    Bu durumda $A + B = 18$ olmalıdır. $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için alabilecekleri en büyük değer $9$'dur. Bu eşitliği sağlayan tek durum $A=9$ ve $B=9$ olmasıdır ($9+9=18$). Bu durumda $A - B = 9 - 9 = 0$ olur.

• 5. Adım: En Büyük $A - B$ Değerini Bulalım

  Yukarıdaki tüm durumları incelediğimizde, $A - B$ farkının alabileceği değerler $0$ ve $9$'dur. Bu değerler arasında en büyüğü $9$'dur.

Cevap C seçeneğidir.