Bir noktanın orijin etrafında 45° döndürülmesi işlemi matrislerle ifade edilebilir. Buna göre, 45°'lik dönme matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
B) $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$
C) $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
D) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
Bir noktanın orijin etrafında belirli bir açıyla döndürülmesi işlemi, lineer cebirde dönme matrisleri kullanılarak ifade edilir. Bu tür problemler, bilgisayar grafikleri, robotik ve fizik gibi birçok alanda karşımıza çıkar.
- Genel Dönme Matrisi Formülü: Bir noktanın orijin etrafında saat yönünün tersine $\theta$ açısı kadar döndürülmesi için kullanılan genel dönme matrisi aşağıdaki gibidir:
$$R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$
Bu matris, $(x, y)$ koordinatlarına sahip bir noktayı, yeni $(x', y')$ koordinatlarına dönüştürmek için kullanılır. $(x', y') = R_\theta \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ şeklinde bir matris çarpımı yapılır.
- Verilen Açı: Soruda verilen dönme açısı $45^\circ$'dir. Yani, $\theta = 45^\circ$.
- Trigonometrik Değerlerin Hesaplanması: Şimdi, $\theta = 45^\circ$ için $\sin\theta$ ve $\cos\theta$ değerlerini bulalım:
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Dönme Matrisinin Oluşturulması: Bulduğumuz bu trigonometrik değerleri genel dönme matrisi formülüne yerleştirelim:
$$R_{45^\circ} = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) \end{bmatrix}$$
$$R_{45^\circ} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$
- Seçeneklerle Karşılaştırma: Elde ettiğimiz bu matrisi verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, B seçeneğindeki matris ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap B seçeneğidir.
