9. Sınıf Dönme Dönüşümü Nedir? Test 1

Bir ABCD karesinin köşeleri A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1) şeklindedir. Bu kare orijin etrafında 270° saat yönünde döndürüldüğünde, yeni oluşan karenin hangi köşesi orijine en yakın konumda bulunur?

A) A' noktası
B) B' noktası
C) C' noktası
D) D' noktası

Bu soruyu çözmek için öncelikle kare köşelerinin orijin etrafında 270° saat yönünde döndürülmesiyle oluşan yeni koordinatları bulmamız, ardından bu yeni noktaların orijine olan uzaklıklarını hesaplamamız gerekiyor.

• 1. Dönme Kuralını Belirleme:

  Bir $(x,y)$ noktasının orijin etrafında 270° saat yönünde (clockwise) döndürülmesi, 90° saat yönünün tersine (counter-clockwise) döndürülmesiyle aynıdır. Orijin etrafında 90° saat yönünün tersine döndürme kuralı $(x,y) \rightarrow (-y, x)$ şeklindedir.

• 2. Köşelerin Yeni Koordinatlarını Bulma:

  Bu kuralı her bir köşe noktasına uygulayalım:

  • A(1,1) noktası için: A' $(-1, 1)$
  • B(1,3) noktası için: B' $(-3, 1)$
  • C(3,3) noktası için: C' $(-3, 3)$
  • D(3,1) noktası için: D' $(-1, 3)$
• 3. Yeni Köşelerin Orijine Uzaklıklarını Hesaplama:

  Bir $(x,y)$ noktasının orijine $(0,0)$ olan uzaklığı $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ formülü ile bulunur.

  • A' $(-1, 1)$ noktasının orijine uzaklığı: $d_{A'} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
  • B' $(-3, 1)$ noktasının orijine uzaklığı: $d_{B'} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
  • C' $(-3, 3)$ noktasının orijine uzaklığı: $d_{C'} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$
  • D' $(-1, 3)$ noktasının orijine uzaklığı: $d_{D'} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
• 4. Uzaklıkları Karşılaştırma:

  Hesapladığımız uzaklıkları karşılaştıralım:

  • $d_{A'} = \sqrt{2} \approx 1.41$
  • $d_{B'} = \sqrt{10} \approx 3.16$
  • $d_{C'} = \sqrt{18} \approx 4.24$
  • $d_{D'} = \sqrt{10} \approx 3.16$

  Bu uzaklıklar arasında en küçük olanı $\sqrt{2}$'dir. Bu da A' noktasına karşılık gelir.

Yapılan hesaplamalara göre orijine en yakın nokta A' noktasıdır.

Cevap D seçeneğidir.