9. Sınıf Dönme Dönüşümü Nedir? Test 1

Bir noktanın orijin etrafında α açısı kadar döndürülmesi sonucu elde edilen noktanın koordinatları (xcosα - ysinα, xsinα + ycosα) formülü ile bulunur. Buna göre, Q(5,0) noktası orijin etrafında 60° döndürüldüğünde elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2.5, 4.33)
B) (4.33, 2.5)
C) (0, 5)
D) (5, 0)

Bir noktanın orijin etrafında döndürülmesi konusu, analitik geometrinin temel taşlarından biridir. Bu tür soruları çözerken, verilen formülü doğru bir şekilde uygulamak ve trigonometrik değerleri bilmek çok önemlidir. Şimdi sorumuzu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Verilen Bilgileri Belirleyelim

  Soru bize $Q(5,0)$ noktasının orijin etrafında $60^\circ$ döndürülmesini istiyor. Bu durumda:

  Döndürülecek noktanın koordinatları $Q(x,y) = (5,0)$ olarak verilmiştir. Yani $x=5$ ve $y=0$'dır.

  Dönme açısı $\alpha = 60^\circ$'dir.

  Kullanacağımız dönme formülü ise $(x', y') = (x\cos\alpha - y\sin\alpha, x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ şeklindedir.

• Adım 2: Gerekli Trigonometrik Değerleri Hatırlayalım

  $60^\circ$ açısının sinüs ve kosinüs değerleri, trigonometride sıkça karşılaştığımız temel değerlerdendir. Bu değerleri bilmek, hesaplamaları kolaylaştırır:

  $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

  $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Adım 3: Yeni x-koordinatını ($x'$) Hesaplayalım

  Şimdi, verilen $x$, $y$ ve $\alpha$ değerlerini formülün $x'$ kısmına yerleştirelim:

  $x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha$

  $x' = 5 \cdot \cos 60^\circ - 0 \cdot \sin 60^\circ$

  $x' = 5 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

  $x' = \frac{5}{2} - 0$

  $x' = 2.5$

• Adım 4: Yeni y-koordinatını ($y'$) Hesaplayalım

  Aynı şekilde, $y'$ değerini bulmak için formülün ikinci kısmını kullanalım:

  $y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha$

  $y' = 5 \cdot \sin 60^\circ + 0 \cdot \cos 60^\circ$

  $y' = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2}$

  $y' = \frac{5\sqrt{3}}{2} + 0$

  $y' = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

  Seçeneklerde ondalık değerler olduğu için $\sqrt{3}$'ün yaklaşık değerini kullanalım ($\sqrt{3} \approx 1.732$):

  $y' \approx \frac{5 \cdot 1.732}{2} = \frac{8.66}{2} = 4.33$

• Adım 5: Sonuç Koordinatlarını Belirtelim

  Yapılan hesaplamalar sonucunda, $Q(5,0)$ noktasının orijin etrafında $60^\circ$ döndürülmesiyle elde edilen yeni noktanın koordinatları $(x', y') = (2.5, 4.33)$ olarak bulunur.

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile birebir eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.