Koordinat düzleminde R(2,-2) noktasının orijin etrafında 135° döndürülmesi sonucu elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, -2√2)Koordinat düzleminde bir noktanın orijin etrafında belirli bir açıyla döndürülmesi, geometrik dönüşümlerin temel konularından biridir. Bu tür soruları çözerken genellikle dönüşüm formüllerini kullanırız. Şimdi, $R(2,-2)$ noktasını orijin etrafında $135^\circ$ döndürerek yeni koordinatlarını bulalım.
Bir $P(x,y)$ noktasının orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni nokta $P'(x',y')$ aşağıdaki formüllerle bulunur:
$x' = x \cos\theta - y \sin\theta$
$y' = x \sin\theta + y \cos\theta$
Bu soruda verilen nokta $R(2,-2)$ olduğundan $x=2$ ve $y=-2$'dir. Dönme açısı ise $\theta = 135^\circ$'dir.
Dönüşüm formüllerini kullanabilmek için $\sin(135^\circ)$ ve $\cos(135^\circ)$ değerlerini bilmemiz gerekir. Bu değerleri birim çemberden veya özel üçgenlerden yararlanarak bulabiliriz:
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Şimdi $x=2$, $y=-2$, $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ değerlerini dönüşüm formüllerine yerleştirelim ve hesaplamaları yapalım:
$x'$ için hesaplama:
$x' = (2) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-2) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$x' = -\frac{2\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)$
$x' = -\sqrt{2} - (-\sqrt{2})$
$x' = -\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$x' = 0$
$y'$ için hesaplama:
$y' = (2) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (-2) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$y' = \frac{2\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2}$
$y' = \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$y' = 2\sqrt{2}$
Yapılan dönüşüm sonucunda elde edilen yeni nokta $R'(0, 2\sqrt{2})$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
