Çembersel hareket test çöz AYT Test 1

Eşit kütleli X ve Y cisimleri sırasıyla 2r ve r yarıçaplı yörüngelerde, eşit periyotlarla çembersel hareket yapmaktadır.
Buna göre X cisminin merkezcil ivmesinin Y cismininkine oranı \( \frac{a_X}{a_Y} \) kaçtır?

A) 1/2
B) 1
C) 2
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda çembersel hareket yapan cisimlerin merkezcil ivmelerini karşılaştıracağız. Adım adım ilerleyerek konuyu pekiştirelim.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • X ve Y cisimlerinin kütleleri eşit. (Merkezcil ivme hesabında kütle doğrudan kullanılmaz, ancak soruda verildiği için not edelim.)
  • X cismi $2r$ yarıçaplı yörüngede hareket ediyor ($r_X = 2r$).
  • Y cismi $r$ yarıçaplı yörüngede hareket ediyor ($r_Y = r$).
  • Her iki cismin de periyotları eşit ($T_X = T_Y = T$). Periyot, bir tam turu tamamlama süresidir.
• 2. Merkezcil İvme Formülünü Hatırlayalım:

  Merkezcil ivme ($a$), çembersel hareket yapan bir cismin merkeze doğru olan ivmesidir. Bu ivmeyi hesaplamak için farklı formüller kullanabiliriz. Soruda periyot bilgisi verildiği için, periyot ($T$) cinsinden ifadeyi kullanmak en pratik yoldur:

  $a = \omega^2 r$ formülünü biliyoruz. Burada $\omega$ açısal hızdır.

  Açısal hızın periyot ile ilişkisi ise $\omega = \frac{2\pi}{T}$ şeklindedir.

  Bu iki formülü birleştirirsek, merkezcil ivme için periyot cinsinden formülü elde ederiz:

  $a = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

• 3. X Cisminin Merkezcil İvmesini Bulalım ($a_X$):

  X cismi için yarıçap $r_X = 2r$ ve periyot $T_X = T$ olduğundan, formülde yerine koyalım:

  $a_X = \frac{4\pi^2 r_X}{T_X^2} = \frac{4\pi^2 (2r)}{T^2} = \frac{8\pi^2 r}{T^2}$.

• 4. Y Cisminin Merkezcil İvmesini Bulalım ($a_Y$):

  Y cismi için yarıçap $r_Y = r$ ve periyot $T_Y = T$ olduğundan, formülde yerine koyalım:

  $a_Y = \frac{4\pi^2 r_Y}{T_Y^2} = \frac{4\pi^2 (r)}{T^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

• 5. İvmelerin Oranını Hesaplayalım ($ \frac{a_X}{a_Y} $):

  Şimdi bulduğumuz $a_X$ ve $a_Y$ değerlerini birbirine oranlayalım:

  $ \frac{a_X}{a_Y} = \frac{\frac{8\pi^2 r}{T^2}}{\frac{4\pi^2 r}{T^2}} $

  Bu kesirli ifadeyi sadeleştirelim. Pay ve paydadaki ortak terimler olan $4\pi^2$, $r$ ve $T^2$ birbirini götürecektir:

  $ \frac{a_X}{a_Y} = \frac{8}{4} = 2 $.

Buna göre X cisminin merkezcil ivmesinin Y cismininkine oranı $2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.