Eşit kütleli iki cisimden biri 2r yarıçaplı yörüngede v süratiyle, diğeri r yarıçaplı yörüngede 2v süratiyle düzgün çembersel hareket yapmaktadır.
Buna göre cisimlere etki eden merkezcil kuvvetler oranı \( \frac{F_1}{F_2} \) kaçtır?
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için düzgün çembersel hareket yapan cisimlere etki eden merkezcil kuvvet formülünü hatırlamamız gerekiyor. Haydi adım adım ilerleyelim!
Düzgün çembersel hareket yapan bir cisme etki eden merkezcil kuvvet $F$, cismin kütlesi $m$, sürati $v$ ve yörünge yarıçapı $r$ ile aşağıdaki gibi ifade edilir:
$F = \frac{m v^2}{r}$
Soruda verilen bilgilere göre, birinci cismin kütlesi $m_1 = m$ (cisimler eşit kütlelidir), yörünge yarıçapı $r_1 = 2r$ ve sürati $v_1 = v$'dir.
Bu değerleri merkezcil kuvvet formülünde yerine yazarsak:
$F_1 = \frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m (v)^2}{2r} = \frac{m v^2}{2r}$
İkinci cismin kütlesi de $m_2 = m$'dir. Yörünge yarıçapı $r_2 = r$ ve sürati $v_2 = 2v$'dir.
Bu değerleri merkezcil kuvvet formülünde yerine yazarsak:
$F_2 = \frac{m_2 v_2^2}{r_2} = \frac{m (2v)^2}{r}$
$(2v)^2$ ifadesi $4v^2$ olarak açılır. Bu durumda $F_2$ şöyle olur:
$F_2 = \frac{m (4v^2)}{r} = \frac{4 m v^2}{r}$
Şimdi bulduğumuz $F_1$ ve $F_2$ değerlerini oranlayalım:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{m v^2}{2r}}{\frac{4 m v^2}{r}}$
Bu kesirli ifadeyi düzenlerken, paydadaki kesri ters çevirip paydaki kesirle çarparız:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m v^2}{2r} \times \frac{r}{4 m v^2}$
Şimdi sadeleştirmeleri yapalım. $m$, $v^2$ ve $r$ ifadeleri hem payda hem de paydada bulunduğundan birbirlerini götürecektir:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
Bu durumda, cisimlere etki eden merkezcil kuvvetler oranı $ \frac{F_1}{F_2} = \frac{1}{8} $ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
