Kuvvet ve hareket konusu özet Test 1

Bir cisim 45° açıyla 40 m/s hızla atılıyor. Cismin yatayda aldığı maksimum yol kaç metredir? (g = 10 m/s², hava sürtünmesi önemsiz)

A) 80
B) 120
C) 160
D) 200

Sevgili öğrenciler, bu soruda eğik atış hareketini kullanarak bir cismin yatayda alacağı maksimum yolu bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.

• 1. Hız Bileşenlerini Ayırma:

  Eğik atış hareketinde cismin ilk hızı ($v_0$) yatay ve düşey olmak üzere iki bileşene ayrılır. Bu bileşenler, atış açısı ($\theta$) kullanılarak hesaplanır:

  • Yatay hız bileşeni ($v_{0x}$): $v_{0x} = v_0 \cos\theta$
  • Düşey hız bileşeni ($v_{0y}$): $v_{0y} = v_0 \sin\theta$

  Verilen değerleri yerine koyalım:

  • $v_0 = 40$ m/s
  • $\theta = 45^\circ$
  • $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $v_{0x} = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ m/s
  • $v_{0y} = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ m/s
• 2. Uçuş Süresini Hesaplama:

  Cismin havada kalma süresi (uçuş süresi), düşey hareketine bağlıdır. Cisim en yüksek noktaya çıktığında düşey hızı sıfır olur. Bu noktaya çıkış süresi ($t_ç$), düşey ilk hız ve yerçekimi ivmesi ($g$) kullanılarak bulunur:

  • $t_ç = \frac{v_{0y}}{g}$

  Verilen değerleri yerine koyalım:

  • $v_{0y} = 20\sqrt{2}$ m/s
  • $g = 10$ m/s$^2$
  • $t_ç = \frac{20\sqrt{2}}{10} = 2\sqrt{2}$ s

  Cisim, çıktığı süre kadar da iniş süresi geçireceği için toplam uçuş süresi ($t_{uçuş}$), çıkış süresinin iki katıdır:

  • $t_{uçuş} = 2 \times t_ç = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ s
• 3. Yatayda Alınan Maksimum Yolu (Menzili) Hesaplama:

  Yatayda hava sürtünmesi önemsiz olduğu için cismin yatay hızı ($v_{0x}$) sabittir. Bu nedenle yatayda alınan yol (menzil, $R$), yatay hız ile toplam uçuş süresinin çarpımıyla bulunur:

  • $R = v_{0x} \times t_{uçuş}$

  Hesapladığımız değerleri yerine koyalım:

  • $v_{0x} = 20\sqrt{2}$ m/s
  • $t_{uçuş} = 4\sqrt{2}$ s
  • $R = (20\sqrt{2}) \times (4\sqrt{2})$
  • $R = 20 \times 4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}$
  • $R = 80 \times 2$
  • $R = 160$ m
• Alternatif Yöntem (Menzil Formülü):

  Eğik atışta menzil için doğrudan bir formül de kullanabiliriz:

  • $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

  Değerleri yerine koyalım:

  • $v_0 = 40$ m/s
  • $\theta = 45^\circ \implies 2\theta = 90^\circ$
  • $\sin(90^\circ) = 1$
  • $g = 10$ m/s$^2$
  • $R = \frac{(40)^2 \times \sin(90^\circ)}{10}$
  • $R = \frac{1600 \times 1}{10}$
  • $R = 160$ m

  Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu gösterir.

Cevap C seçeneğidir.