İntegral ne işe yarar (Alan hesabı) Test 1

Bir bölgenin sıcaklık değişim hızı T'(t) = -0.2t + 2 olarak veriliyor. İlk 5 saatteki toplam sıcaklık değişimi hangi integralle hesaplanır?

A) ∫₀⁵ (-0.2t + 2) dt
B) ∫₀⁵ (0.2t - 2) dt
C) ∫₀⁵ (-0.1t² + 2t) dt
D) ∫₀⁵ (-0.2t² + 2t) dt

Sevgili öğrenciler, bu soru, bir fonksiyonun değişim hızı verildiğinde, belirli bir zaman aralığındaki toplam değişimi nasıl hesaplayacağımızı anlamamızı istiyor. Bu tür problemler, integralin temel uygulamalarından biridir.

• Öncelikle, bize verilen bilgiyi anlayalım: Bir bölgenin sıcaklık değişim hızı $T'(t) = -0.2t + 2$ olarak verilmiş. Buradaki $T'(t)$ ifadesi, sıcaklığın $t$ anındaki anlık değişim oranını (yani türevini) temsil eder. Fizikte hız, ivme, akış hızı gibi kavramlar genellikle bir şeyin değişim hızını ifade eder.

• Bizden istenen ise "ilk 5 saatteki toplam sıcaklık değişimi". Bir fonksiyonun değişim hızı (türevi) verildiğinde, belirli bir aralıktaki toplam değişimi bulmak için o değişim hızı fonksiyonunu ilgili aralık üzerinde integralini almamız gerekir. Bu, Kalkülüs'ün Temel Teoremi'nin bir uygulamasıdır.

• Matematiksel olarak ifade edersek, eğer bir $f(t)$ fonksiyonunun değişim hızı $f'(t)$ ise, $t=a$ anından $t=b$ anına kadar olan toplam değişim $\int_a^b f'(t) dt$ integrali ile hesaplanır.

• Bizim durumumuzda, değişim hızı fonksiyonu $T'(t) = -0.2t + 2$ ve zaman aralığı "ilk 5 saat" olduğu için $t=0$ (başlangıç) ile $t=5$ (5. saatin sonu) arasıdır. Yani, $a=0$ ve $b=5$ almalıyız.

• Bu bilgileri bir araya getirdiğimizde, toplam sıcaklık değişimi için kurmamız gereken integral şu şekilde olacaktır:

  $\int_0^5 T'(t) dt = \int_0^5 (-0.2t + 2) dt$

• Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $\int_0^5 (-0.2t + 2) dt$: Bu ifade, bizim bulduğumuz integral ile tamamen aynıdır.
  • B) $\int_0^5 (0.2t - 2) dt$: Fonksiyonun işaretleri farklıdır, bu doğru değildir.
  • C) $\int_0^5 (-0.1t^2 + 2t) dt$: Bu ifade, $T'(t)$ fonksiyonunun bir antiderivatifi (ilkel fonksiyonu) gibi görünmektedir, ancak bizden istenen toplam değişimi veren integralin kendisidir, antiderivatifin integrali değildir.
  • D) $\int_0^5 (-0.2t^2 + 2t) dt$: Bu da yanlış bir antiderivatif veya yanlış bir fonksiyondur.

Bu nedenle, ilk 5 saatteki toplam sıcaklık değişimini hesaplamak için doğru integral A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.