Bu soruda, $B = \{x | x^2 = -1, x \in R\}$ kümesinin eleman sayısını bulmamız isteniyor. Kümeyi adım adım inceleyelim:
- Küme Tanımını Anlamak: Öncelikle, verilen küme tanımını doğru bir şekilde yorumlayalım. $B$ kümesi, belirli koşulları sağlayan $x$ elemanlarından oluşur. Bu koşullar şunlardır:
- Birinci koşul: $x^2 = -1$ denklemini sağlamalıdır. Yani, $x$ sayısının karesi $-1$ olmalıdır.
- İkinci koşul: $x$ bir gerçek sayı olmalıdır. Bu, $x \in R$ sembolü ile ifade edilir. Gerçek sayılar kümesi, bildiğimiz tüm rasyonel ve irrasyonel sayıları (pozitif, negatif, sıfır, kesirli, ondalıklı, köklü sayılar vb.) içerir.
- Denklemi İncelemek ($x^2 = -1$): Şimdi $x^2 = -1$ denklemini ele alalım. Bir sayının karesi $-1$ olabilir mi?
- Gerçek sayılar kümesinin temel özelliklerinden biri şudur: Herhangi bir gerçek sayının karesi (kendisiyle çarpımı) her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $x$ bir gerçek sayı ise, $x^2 \ge 0$ olmak zorundadır.
- Örneğin: $2^2 = 4$, $(-3)^2 = 9$, $0^2 = 0$, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Gördüğümüz gibi, hiçbir gerçek sayının karesi negatif bir sayı olamaz.
- Koşulları Birleştirmek: $B$ kümesinin elemanları, hem $x^2 = -1$ denklemini sağlamalı hem de bir gerçek sayı olmalıdır.
- Ancak, yukarıda açıkladığımız gibi, gerçek sayılar kümesinde karesi $-1$ olan hiçbir sayı yoktur. $x^2 = -1$ denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur.
- Kümenin Eleman Sayısı: Bu durumda, $B$ kümesinin tanımındaki her iki koşulu da aynı anda sağlayan hiçbir $x$ gerçek sayısı bulunmamaktadır. Yani, $B$ kümesinin içinde hiçbir eleman yoktur.
- Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve eleman sayısı $0$ (sıfır) olarak ifade edilir.
Cevap A seçeneğidir.
