Kartezyen çarpımı A x B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} olarak verilen A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) A = {1,2}, B = {3,4}
B) A = {1,3}, B = {2,4}
C) A = {1,2,3}, B = {3,4}
D) A = {1,2}, B = {1,2,3,4}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, Kartezyen çarpımı verilen iki kümenin (A ve B) kendilerini bulmamız isteniyor. Kartezyen çarpımının tanımını hatırlayarak bu tür soruları kolayca çözebiliriz.
-
Kartezyen Çarpımının Tanımı: İki küme, A ve B, verildiğinde, $A \times B$ Kartezyen çarpımı, birinci bileşeni A kümesinden ve ikinci bileşeni B kümesinden olan tüm sıralı ikililerin $(a,b)$ kümesidir. Yani, $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \text{ ve } b \in B\}$.
-
Verilen Bilgi: Bize $A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$ olarak verilmiş.
-
A Kümesini Bulma: A kümesi, Kartezyen çarpımındaki sıralı ikililerin birinci bileşenlerinden oluşur. Verilen sıralı ikililerin birinci bileşenlerine bakalım:
- $(1,3)$ ikilisinde birinci bileşen $1$'dir.
- $(1,4)$ ikilisinde birinci bileşen $1$'dir.
- $(2,3)$ ikilisinde birinci bileşen $2$'dir.
- $(2,4)$ ikilisinde birinci bileşen $2$'dir.
Bu birinci bileşenleri bir küme olarak topladığımızda (tekrarlayan elemanları bir kez yazarak), A kümesini buluruz: $A = \{1, 2\}$.
-
B Kümesini Bulma: B kümesi, Kartezyen çarpımındaki sıralı ikililerin ikinci bileşenlerinden oluşur. Verilen sıralı ikililerin ikinci bileşenlerine bakalım:
- $(1,3)$ ikilisinde ikinci bileşen $3$'tür.
- $(1,4)$ ikilisinde ikinci bileşen $4$'tür.
- $(2,3)$ ikilisinde ikinci bileşen $3$'tür.
- $(2,4)$ ikilisinde ikinci bileşen $4$'tür.
Bu ikinci bileşenleri bir küme olarak topladığımızda (tekrarlayan elemanları bir kez yazarak), B kümesini buluruz: $B = \{3, 4\}$.
-
Sonuç: Buna göre, A kümesi $A = \{1,2\}$ ve B kümesi $B = \{3,4\}$'tür.
-
Seçenekleri Kontrol Etme: Bulduğumuz kümelerle seçenekleri karşılaştıralım:
- A) $A = \{1,2\}$, $B = \{3,4\}$ - Bu seçenek bizim bulduğumuz kümelerle eşleşiyor.
- B) $A = \{1,3\}$, $B = \{2,4\}$ - Yanlış.
- C) $A = \{1,2,3\}$, $B = \{3,4\}$ - Yanlış.
- D) $A = \{1,2\}$, $B = \{1,2,3,4\}$ - Yanlış.
Cevap A seçeneğidir.
