Kartezyen çarpım grafiği Test 1

Bir matematik yarışmasında öğrencilerden A x B kartezyen çarpımının grafiğini çizmeleri isteniyor. Grafikte noktaların koordinatları toplamının her zaman çift sayı olduğu görülüyor. Buna göre A ve B kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?

A) A kümesi çift sayılardan, B kümesi tek sayılardan oluşur
B) A ve B kümelerinin her ikisi de tek sayılardan oluşur
C) A ve B kümelerinin her ikisi de çift sayılardan oluşur
D) A kümesi tek sayılardan, B kümesi çift sayılardan oluşur

Sevgili öğrenciler, bu problemde kartezyen çarpımın temel özelliklerini ve sayıların tek-çift olma durumlarını (parite) kullanarak doğru cevabı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kartezyen Çarpım ve Koordinatlar:

  Öncelikle, $A \times B$ kartezyen çarpımı, A kümesinden bir eleman ($x$) ve B kümesinden bir eleman ($y$) alarak oluşturulan tüm $(x, y)$ sıralı ikililerinin kümesidir. Bu ikililer, grafikte noktaların koordinatlarını temsil eder.

• 2. Verilen Koşulun Anlamı:

  Soruda bize verilen bilgi, grafikteki her $(x, y)$ noktasının koordinatları toplamının ($x+y$) her zaman çift sayı olduğudur. Bu, $x$ ve $y$ sayılarının tek veya çift olma durumları (pariteleri) hakkında bize önemli bir ipucu verir.

• 3. Tek ve Çift Sayıların Toplam Kuralları:

  Sayıların pariteleriyle ilgili temel toplama kurallarını hatırlayalım:

  Çift + Çift = Çift

  Tek + Tek = Çift

  Çift + Tek = Tek

  Tek + Çift = Tek

  Bizim koşulumuz $x+y$'nin her zaman çift olması gerektiğidir. Yukarıdaki kurallara baktığımızda, $x+y$'nin çift olabilmesi için $x$ ve $y$ sayılarının aynı pariteye sahip olması gerektiğini görürüz. Yani, ya her ikisi de çift sayı olmalı ya da her ikisi de tek sayı olmalıdır.

• 4. Seçeneklerin Değerlendirilmesi:

  Şimdi verilen seçenekleri inceleyelim ve $x \in A$ ve $y \in B$ için $x+y$'nin çift olup olmadığını kontrol edelim:

  A) A kümesi çift sayılardan, B kümesi tek sayılardan oluşur: Eğer $x$ çift ve $y$ tek ise, $x+y$ (Çift + Tek) = Tek olur. Bu, verilen koşulu sağlamaz.

  B) A ve B kümelerinin her ikisi de tek sayılardan oluşur: Eğer $x$ tek ve $y$ tek ise, $x+y$ (Tek + Tek) = Çift olur. Bu, verilen koşulu sağlar.

  C) A ve B kümelerinin her ikisi de çift sayılardan oluşur: Eğer $x$ çift ve $y$ çift ise, $x+y$ (Çift + Çift) = Çift olur. Bu, verilen koşulu sağlar.

  D) A kümesi tek sayılardan, B kümesi çift sayılardan oluşur: Eğer $x$ tek ve $y$ çift ise, $x+y$ (Tek + Çift) = Tek olur. Bu, verilen koşulu sağlamaz.

• 5. Doğru Seçeneğin Belirlenmesi:

  Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, A ve B kümelerinin her ikisinin de çift sayılardan oluşması durumunda ($x$ çift, $y$ çift), koordinatlar toplamı $x+y$ (Çift + Çift) = Çift olur. Bu durum, soruda verilen koşulu tam olarak karşılamaktadır. Seçenekler arasında doğru olabilecek bir durum olarak C seçeneği verilmiştir.

Cevap C seçeneğidir.