Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün üçgenlerde ağırlık merkezi ve kenarortaylarla ilgili çok önemli bir özelliği kullanarak bir problem çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
-
Problemi Anlayalım: Bir üçgenin ağırlık merkezinin herhangi bir köşeye olan uzaklığı 10 cm olarak verilmiş. Bizden istenen, bu köşeden çizilen kenarortayın toplam uzunluğunu bulmak.
-
Ağırlık Merkezi Nedir ve Özelliği Nedir?:
- Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Her üçgenin üç tane kenarortayı vardır.
- Bu üç kenarortayın kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezi genellikle '$G$' harfi ile gösterilir.
- Ağırlık merkezinin en önemli özelliklerinden biri şudur: Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, köşeye yakın olan parça, orta noktaya yakın olan parçanın iki katı uzunluğundadır.
-
Verilen Bilgiyi Kullanalım:
- Soruda, ağırlık merkezinin herhangi bir köşeye olan uzaklığı 10 cm olarak verilmiş.
- Bir üçgenin köşesini '$A$', bu köşeden çizilen kenarortayın karşı kenarı kestiği orta noktayı '$D$' ve ağırlık merkezini '$G$' olarak düşünelim.
- Bu durumda, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık $AG$ olur. Yani, $AG = 10$ cm.
-
Kenarortayın Diğer Parçasını Bulalım:
- Ağırlık merkezinin kenarortayı $2:1$ oranında böldüğünü biliyoruz. Bu durumda, $AG$ parçası, $GD$ parçasının iki katı uzunluğundadır. Matematiksel olarak $AG = 2 \times GD$ şeklinde ifade edebiliriz.
- $AG = 10$ cm olduğuna göre, $10 = 2 \times GD$ denklemini kurabiliriz.
- Bu denklemi çözdüğümüzde, $GD = \frac{10}{2} = 5$ cm buluruz.
-
Kenarortayın Toplam Uzunluğunu Hesaplayalım:
- Kenarortayın tamamı, $AD$ uzunluğudur. $AD$ ise $AG$ ve $GD$ parçalarının toplamından oluşur.
- Yani, $AD = AG + GD$.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: $AD = 10 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$.
Buna göre, bu köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu 15 cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
