Ağırlık merkezi nedir (Üçgen) Test 1

ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açı olmak üzere, AB = 6 cm ve AC = 8 cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezinin A köşesine uzaklığı kaç cm'dir?

A) $\frac{10}{3}$
B) $\frac{13}{3}$
C) 5
D) $\frac{17}{3}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dik üçgenin ağırlık merkezinin dik köşeye olan uzaklığını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulalım

• ABC dik üçgeninde A köşesi dik açı olduğu için, Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs BC'nin uzunluğunu bulabiliriz. Verilen kenarlar $AB = 6$ cm ve $AC = 8$ cm'dir.

  Pisagor Teoremi: $BC^2 = AB^2 + AC^2$

  $BC^2 = 6^2 + 8^2$

  $BC^2 = 36 + 64$

  $BC^2 = 100$

  $BC = \sqrt{100}$

  $BC = 10$ cm.

• 2. Adım: Dik Açıdan Çizilen Kenarortayın Uzunluğunu Bulalım

• Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu kurala "muhteşem üçlü" denir.

  Hipotenüs BC'nin orta noktasına M diyelim. A köşesinden M noktasına çizilen kenarortay AM olacaktır.

  $AM = \frac{BC}{2}$

  $AM = \frac{10}{2}$

  $AM = 5$ cm.

• 3. Adım: Ağırlık Merkezinin A Köşesine Uzaklığını Bulalım

• Ağırlık merkezi (G), bir üçgende kenarortayların kesişim noktasıdır. Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler.

  Bizim durumumuzda, ağırlık merkezi G, AM kenarortayı üzerinde yer alır ve A köşesine olan uzaklığı (AG), AM'nin $\frac{2}{3}$'ü kadardır.

  $AG = \frac{2}{3} \times AM$

  $AG = \frac{2}{3} \times 5$

  $AG = \frac{10}{3}$ cm.

Böylece, ağırlık merkezinin A köşesine olan uzaklığını $\frac{10}{3}$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.