Ağırlık merkezi G olan ABC üçgeninde, [AG] ⊥ [BG] ve |AG| = 6 cm, |BG| = 8 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin ağırlık merkezi ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. Özellikle diklik bilgisini kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Bize bir ABC üçgeni verilmiş.
- G noktası, bu üçgenin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır.
- $[AG]$ ve $[BG]$ doğru parçaları, ağırlık merkezine giden kenarortay parçalarıdır.
- En önemli bilgi: $[AG] \perp [BG]$ olduğu belirtilmiş. Bu, AG ve BG doğru parçalarının birbirine dik olduğu anlamına gelir.
- Uzunluklar verilmiş: $|AG| = 6$ cm ve $|BG| = 8$ cm.
- Bizden $|AB|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- Adım 2: Dik Üçgeni Fark Edelim
- $[AG] \perp [BG]$ ifadesi, A, G ve B noktalarının bir dik üçgen oluşturduğu anlamına gelir. Yani, $\triangle AGB$ bir dik üçgendir ve dik açı G noktasındadır.
- Bu dik üçgenin dik kenarları $|AG|$ ve $|BG|$'dir.
- Hipotenüsü ise $|AB|$'dir, çünkü dik açının karşısındaki kenardır.
- Adım 3: Pisagor Teoremini Uygulayalım
- Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu kurala Pisagor Teoremi denir.
- $\triangle AGB$ üçgeni için Pisagor Teoremi'ni yazarsak: $|AG|^2 + |BG|^2 = |AB|^2$ olur.
- Adım 4: Değerleri Yerine Koyup Hesaplayalım
- Verilen uzunlukları denkleme yerleştirelim:
- $|AG| = 6$ cm ve $|BG| = 8$ cm.
- Denklemimiz: $6^2 + 8^2 = |AB|^2$
- Şimdi hesaplamaları yapalım:
- $36 + 64 = |AB|^2$
- $100 = |AB|^2$
- $|AB|$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $\sqrt{100} = \sqrt{|AB|^2}$
- $10 = |AB|$
- Adım 5: Sonucu Belirtelim
- Buna göre, $|AB|$ uzunluğu $10$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
