A = {x | x < 10, x ∈ N} ve B = {x | x > 15, x ∈ N} kümeleri veriliyor. Bu kümelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A ve B ayrık kümelerdir
B) A ve B ayrık kümeler değildir
C) A, B'nin alt kümesidir
D) B, A'nın alt kümesidir
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen iki kümenin özelliklerini inceleyerek doğru ifadeyi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Kümelerin Elemanlarını Belirleyelim
- Öncelikle, doğal sayılar kümesi $N = \{1, 2, 3, ...\}$ olduğunu hatırlayalım. (Bazı kaynaklarda $0$ da doğal sayı kabul edilir, ancak bu sorunun çözümünü etkilemeyecektir.)
- $A = \{x | x < 10, x \in N\}$ kümesi, 10'dan küçük doğal sayılardan oluşur. Bu durumda A kümesinin elemanları şunlardır: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
- $B = \{x | x > 15, x \in N\}$ kümesi, 15'ten büyük doğal sayılardan oluşur. Bu durumda B kümesinin elemanları şunlardır: $B = \{16, 17, 18, 19, ...\}$.
- 2. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim
- Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) A ve B ayrık kümelerdir: Ayrık kümeler, ortak hiçbir elemanı olmayan kümelerdir. Yani kesişimleri boş küme ($A \cap B = \emptyset$) olmalıdır.
- A kümesi $1$'den $9$'a kadar olan doğal sayıları içerirken, B kümesi $16$'dan başlayarak sonsuza giden doğal sayıları içerir. Gördüğümüz gibi, bu iki kümenin ortak hiçbir elemanı yoktur. Yani $A \cap B = \emptyset$. Bu durumda A ve B kümeleri ayrık kümelerdir. Bu ifade doğrudur.
- B) A ve B ayrık kümeler değildir: Yukarıdaki açıklamaya göre A ve B ayrık kümelerdir. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- C) A, B'nin alt kümesidir ($A \subseteq B$): Bir kümenin diğerinin alt kümesi olması için, ilk kümenin tüm elemanlarının ikinci kümede de bulunması gerekir. A kümesinin elemanları ($1, 2, ..., 9$) B kümesinde ($16, 17, ...$) bulunmamaktadır. Dolayısıyla A, B'nin alt kümesi değildir. Bu ifade yanlıştır.
- D) B, A'nın alt kümesidir ($B \subseteq A$): B kümesinin elemanları ($16, 17, ...$) A kümesinde ($1, 2, ..., 9$) bulunmamaktadır. Dolayısıyla B, A'nın alt kümesi değildir. Bu ifade yanlıştır.
Tüm seçenekleri değerlendirdiğimizde, sadece A seçeneğinin doğru olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
