Bir üretim hattından rastgele seçilen 36 ürünün ağırlıklarının ortalaması 250 gram, standart sapması 15 gram olarak bulunmuştur. %95 güven düzeyi için populasyon ortalamasının güven aralığı nedir?
(z değeri = 1.96)
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir populasyonun ortalamasını belirli bir güven düzeyinde tahmin etmeye çalışacağız. Bu tür problemlerde, elimizdeki örneklem verilerini kullanarak populasyon hakkında çıkarımlar yaparız. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle soruda bize hangi bilgilerin verildiğini netleştirelim:
Burada örneklem büyüklüğü ($n=36$) 30'dan büyük olduğu için, populasyon standart sapması bilinmese bile örneklem standart sapmasını kullanarak z-dağılımını kullanabiliriz (Merkezi Limit Teoremi sayesinde).
Populasyon ortalaması için güven aralığı formülü şu şekildedir:
Güven Aralığı = $\bar{x} \pm z * (\frac{s}{\sqrt{n}})$
Bu formülde:
Standart hata, örneklem ortalamasının populasyon ortalamasından ne kadar sapma eğiliminde olduğunu gösterir. Formülü $\frac{s}{\sqrt{n}}$ şeklindedir.
Standart Hata (SE) = $\frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$ gram
Hata payı, güven aralığının ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu belirler. Formülü $z * SE$ şeklindedir.
Hata Payı (ME) = $1.96 * 2.5 = 4.9$ gram
Şimdi hata payını örneklem ortalamasına ekleyip çıkararak güven aralığını bulabiliriz:
Buna göre, populasyon ortalamasının %95 güvenle 245.1 gram ile 254.9 gram arasında olduğu tahmin edilmektedir.
Bu sonuç, seçilen 36 ürünün ağırlık ortalaması 250 gram olduğunda, tüm üretim hattındaki ürünlerin ortalama ağırlığının %95 ihtimalle bu aralıkta olacağını gösterir.
Cevap A seçeneğidir.
