ln(1) kaçtır Test 1

\( \ln(1) = 0 \) olduğunu kullanarak, \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \) integralinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) e
D) e-1

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, belirli integralin nasıl hesaplandığını ve doğal logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bir değeri bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: İntegralin Temel Teoremini Hatırlayalım.

  Belirli bir $f(x)$ fonksiyonunun $a$'dan $b$'ye integralini hesaplamak için, öncelikle $f(x)$'in bir ters türevini (ilkel fonksiyonunu) $F(x)$ buluruz. Daha sonra bu integralin değeri $F(b) - F(a)$ olarak hesaplanır. Yani, $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $.

• Adım 2: $ \frac{1}{x} $ Fonksiyonunun Ters Türevini Bulalım.

  $ \frac{1}{x} $ fonksiyonunun ters türevi (ilkel fonksiyonu) $ \ln|x| $ 'tir. İntegralimiz $1$'den $e$'ye olduğu için, $x$ değerleri pozitif olacaktır ($1 \le x \le e$). Bu nedenle mutlak değer işaretine ihtiyacımız yoktur ve ters türev olarak $ \ln(x) $ kullanabiliriz. Yani, $ F(x) = \ln(x) $.

• Adım 3: İntegral Sınırlarını Ters Türeve Uygulayalım.

  İntegralimiz $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx $ şeklindedir. Burada alt sınır $a=1$ ve üst sınır $b=e$. İntegralin değeri $ F(e) - F(1) $ olacaktır. Bu da $ \ln(e) - \ln(1) $ anlamına gelir.

• Adım 4: Verilen Bilgiyi ve Logaritma Özelliklerini Kullanalım.

  Soruda bize $ \ln(1) = 0 $ olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanacağız. Ayrıca, doğal logaritmanın (tabanı $e$ olan logaritma) bir diğer önemli özelliği de $ \ln(e) = 1 $ olmasıdır. Çünkü $e$ sayısının 1. kuvveti yine $e$'ye eşittir ($e^1 = e$).

• Adım 5: Değerleri Yerine Koyarak Sonucu Hesaplayalım.

  Şimdi bulduğumuz ve bildiğimiz değerleri yerine koyalım:

  • $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln(e) - \ln(1) $
  • $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 - 0 $
  • $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 $

Bu adımları takip ederek integralin değerini $1$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.