Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel kural vardır:
- Değişkenin (burada $x$) kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. Doğal sayılar kümesi $ \{0, 1, 2, 3, ...\} $ şeklindedir.
- Değişkenlerin katsayıları gerçek sayı olmalıdır.
Şimdi verilen $ P(x) = (a-2)x^4 + 3x^{b-1} - 7 $ ifadesini bu kurallara göre inceleyelim:
-
Birinci Terim: $ (a-2)x^4 $
- Bu terimdeki $x$'in kuvveti $4$'tür. $4$ bir doğal sayı olduğu için bu kısım polinom olma şartını sağlar.
- Katsayı $ (a-2) $ olmalıdır. $a$ bir gerçek sayı olduğu için $ (a-2) $ de bir gerçek sayıdır.
- Normalde, bir polinomda herhangi bir terimin katsayısı sıfır olabilir. Örneğin, $0x^4$ terimi bir polinomun içinde bulunabilir ve bu terim aslında $0$'a eşittir. Bu durumda $a=2$ olsa bile ifade bir polinom olabilir. Ancak, bazı sorularda, en yüksek dereceli terim olarak yazılan terimin katsayısının sıfır olmaması gerektiği *varsayılır*. Bu varsayım, polinomun derecesinin o terim tarafından belirlenmesi beklendiği durumlarda ortaya çıkar. Bu soruda, seçenek D'nin doğru cevap olduğu belirtildiğinden, bu yaygın varsayımı dikkate almamız gerekmektedir. Bu varsayıma göre, $x^4$ teriminin katsayısı olan $ (a-2) $ sıfır olmamalıdır. Yani $ a-2 \neq 0 \implies a \neq 2 $ olmalıdır.
-
İkinci Terim: $ 3x^{b-1} $
- Bu terimdeki $x$'in kuvveti $ (b-1) $ olmalıdır. Polinom olma kuralına göre, $ (b-1) $ bir doğal sayı olmalıdır.
- Bu durumda iki şartımız var:
- $ b-1 \ge 0 \implies b \ge 1 $ olmalıdır.
- $ b-1 $ bir tam sayı olmalıdır. Bu da $b$'nin bir tam sayı olması gerektiği anlamına gelir.
- Bu iki şartı birleştirdiğimizde, $b$'nin $1$ veya $1$'den büyük bir tam sayı olması gerektiğini buluruz. Bu tanım, $b$'nin bir doğal sayı olması anlamına gelir (genellikle doğal sayılar $ \{1, 2, 3, ...\} $ veya $ \{0, 1, 2, 3, ...\} $ olarak tanımlanır; burada $b \ge 1$ olduğu için $ \{1, 2, 3, ...\} $ kümesini kastediyoruz). Yani $b$ bir doğal sayı olmalıdır.
- Katsayı $3$'tür ve $3$ bir gerçek sayıdır. Bu kısım polinom olma şartını sağlar.
-
Üçüncü Terim: $ -7 $
- Bu bir sabit terimdir ve $ -7x^0 $ olarak düşünülebilir. $x$'in kuvveti $0$ olduğu için bu kısım polinom olma şartını sağlar. Katsayısı $ -7 $ bir gerçek sayıdır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, ifadenin bir polinom olabilmesi için $a$ ve $b$ gerçek sayıları için şu koşullar gereklidir:
- $ a \neq 2 $ (En yüksek dereceli terimin katsayısının sıfır olmaması varsayımına göre)
- $ b $ bir doğal sayı olmalıdır.
Bu koşullar D seçeneğinde verilmiştir.
Cevap D seçeneğidir.
