Polinom olma şartı TYT Matematik Test 1

Bir matematik sorusunda \( P(x) = 3x^{k-2} + 2x^{m+1} - 5 \) ifadesinin polinom olması isteniyor. Buna göre k ve m tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) k ≥ 2 ve m ≥ -1
B) k > 2 ve m > -1
C) k ≥ 2 ve m herhangi bir tam sayı
D) k ve m negatif olmayan tam sayılar

Sevgili öğrenciler, bir ifadenin polinom olabilmesi için çok önemli bir kuralı hatırlamamız gerekiyor. Haydi bu kuralı adım adım uygulayarak sorumuzu çözelim:

• Polinom Tanımı: Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (burada $x$) tüm kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani negatif olmayan tam sayı) olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklinde ifade edilir. Eğer bir kuvvet doğal sayı değilse (örneğin negatif bir tam sayı veya kesirli bir sayı ise), o ifade polinom olmaz.
• Verilen İfadeyi İnceleyelim: Bize verilen ifade $P(x) = 3x^{k-2} + 2x^{m+1} - 5$ şeklindedir. Bu ifadede $x$'in kuvvetleri (üsleri) $k-2$ ve $m+1$'dir. Sabit terim olan $-5$ ise aslında $x^0$ terimi olarak düşünülebilir ve $0$ bir doğal sayı olduğu için bu kısımda bir sorun yoktur.
• Kuvvetler İçin Koşulları Belirleyelim: Polinom tanımına göre, $x$'in kuvvetleri olan $k-2$ ve $m+1$ ifadelerinin her ikisi de doğal sayı olmalıdır. Bu durumda, iki ayrı eşitsizlik kurarız:
• Birinci Kuvvet İçin Eşitsizlik: $k-2$ doğal sayı olmalıdır. Bu da $k-2 \ge 0$ anlamına gelir. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, $k \ge 2$ sonucunu elde ederiz. Yani $k$ sayısı $2$ veya $2$'den büyük bir tam sayı olmalıdır.
• İkinci Kuvvet İçin Eşitsizlik: $m+1$ doğal sayı olmalıdır. Bu da $m+1 \ge 0$ anlamına gelir. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, $m \ge -1$ sonucunu elde ederiz. Yani $m$ sayısı $-1$ veya $-1$'den büyük bir tam sayı olmalıdır.
• Sonuçların Birleştirilmesi: $P(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için hem $k \ge 2$ hem de $m \ge -1$ koşullarının aynı anda sağlanması gerekir. Soruda $k$ ve $m$'nin tam sayı olduğu belirtildiği için, bulduğumuz bu eşitsizlikler tam sayı değerleri için geçerlidir.
• Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Bulduğumuz $k \ge 2$ ve $m \ge -1$ koşulları, seçenekler arasında A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.