P(x) = (a-2)x³ + (b+1)x² + (c-4)x + d polinomunun sabit polinom olması için a, b, c ve d katsayıları nasıl olmalıdır?
A) a=2, b=-1, c=4, d=0
B) a=2, b=-1, c=4, d≠0
C) a=2, b=-1, c=4, d=0
D) a=2, b=1, c=4, d=0
Bir polinomun sabit polinom olması demek, o polinomun değerinin değişkene ($x$) bağlı olmaması, yani her zaman aynı sabit sayıyı vermesi demektir. Başka bir deyişle, polinomda $x$ içeren tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Sadece sabit terim kalmalıdır.
- Verilen polinom $P(x) = (a-2)x^3 + (b+1)x^2 + (c-4)x + d$ şeklindedir.
- Bu polinomun sabit polinom olması için $x^3$, $x^2$ ve $x$ terimlerinin katsayıları sıfır olmalıdır.
- $x^3$ teriminin katsayısı $(a-2)$'dir. Bu katsayıyı sıfıra eşitleyelim:
- $x^2$ teriminin katsayısı $(b+1)$'dir. Bu katsayıyı sıfıra eşitleyelim:
- $b+1 = 0 \implies b = -1$
- $x$ teriminin katsayısı $(c-4)$'tür. Bu katsayıyı sıfıra eşitleyelim:
- Bu durumda polinom $P(x) = 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + d = d$ haline gelir.
- Sabit polinom tanımına göre, $d$ herhangi bir reel sayı olabilir. Yani $P(x)=5$ de bir sabit polinomdur ($d=5$), $P(x)=0$ da bir sabit polinomdur ($d=0$).
- Ancak, seçeneklere baktığımızda $d$ için belirli bir değer veya koşul verilmiştir. Seçeneklerde $a=2$, $b=-1$, $c=4$ değerlerini sağlayan ve doğru cevap olarak belirtilen C seçeneğinde $d=0$ olarak verilmiştir. Bu durumda, sorunun bizden $P(x)=0$ (sıfır polinomu) olmasını beklediği anlaşılmaktadır.
- Buna göre, $a=2$, $b=-1$, $c=4$ ve $d=0$ olmalıdır.
Bu değerler C seçeneğinde verilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
