EBOB nasıl bulunur Test 1

Bir çiftçi tarlasını 90 m ve 120 m kenar uzunlukları olan dikdörtgen şeklinde bölümlere ayıracaktır. Kare şeklindeki bölümler oluşturmak istiyor.
Oluşturulabilecek en büyük karenin bir kenarı kaç metredir?

A) 15
B) 20
C) 30
D) 45

Sevgili öğrenciler, bu problemde dikdörtgen şeklindeki bir tarlayı, kenarları eşit ve mümkün olan en büyük karelere ayırmak istiyoruz. Bu tür problemlerde, hem tarlanın uzun kenarını hem de kısa kenarını tam bölebilen bir sayı bulmamız gerekir. Ayrıca, karelerin en büyük olmasını istediğimiz için, bu ortak bölenlerin en büyüğünü bulmalıyız. Yani, 90 ve 120 sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulacağız.

EBOB'u bulmak için en etkili yöntemlerden biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Şimdi 90 ve 120 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

• 90 sayısının asal çarpanları: 90'ı 2'ye böleriz (45), 45'i 3'e böleriz (15), 15'i 3'e böleriz (5), 5'i 5'e böleriz (1). Yani, $90 = 2 \times 3^2 \times 5$
• 120 sayısının asal çarpanları: 120'yi 2'ye böleriz (60), 60'ı 2'ye böleriz (30), 30'u 2'ye böleriz (15), 15'i 3'e böleriz (5), 5'i 5'e böleriz (1). Yani, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$

Şimdi bu asal çarpanları kullanarak EBOB'u bulalım. EBOB, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini alarak bulunur:

• Ortak asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir.
• 2'nin en küçük üssü $2^1$'dir (çünkü 90'da $2^1$ ve 120'de $2^3$ var).
• 3'ün en küçük üssü $3^1$'dir (çünkü 90'da $3^2$ ve 120'de $3^1$ var).
• 5'in en küçük üssü $5^1$'dir (çünkü 90'da $5^1$ ve 120'de $5^1$ var).

Bu durumda EBOB değeri:

• EBOB(90, 120) = $2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$

Bu durumda, oluşturulabilecek en büyük kare şeklindeki bölümlerin bir kenarı 30 metre olacaktır. Bu, hem 90 metrelik kenarı ($90 \div 30 = 3$ kare) hem de 120 metrelik kenarı ($120 \div 30 = 4$ kare) tam olarak bölebildiği anlamına gelir.

Cevap C seçeneğidir.