√3 + √3 işleminin sonucu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 2√3 rasyonel bir sayıdır
B) 2√3 irrasyonel bir sayıdır
C) 2√3 tam sayıdır
D) 2√3 doğal sayıdır
Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu soruda, köklü sayılarla toplama işlemi yapmayı ve elde ettiğimiz sayının hangi sayı kümesine ait olduğunu anlamayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:
-
Adım 1: Köklü Sayıları Toplama
Öncelikle, bize verilen işlemi yapalım: $\sqrt{3} + \sqrt{3}$.
Köklü sayılarda toplama işlemi yaparken, kök içindeki sayılar ve kök dereceleri aynı ise, kök dışındaki katsayıları toplarız. Burada $\sqrt{3}$ ifadesinin önünde görünmeyen bir $1$ katsayısı vardır. Yani, işlemi $1\sqrt{3} + 1\sqrt{3}$ olarak düşünebiliriz.
Katsayıları topladığımızda: $(1+1)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ sonucunu elde ederiz.
-
Adım 2: Sayı Kümelerini Hatırlayalım
Şimdi, elde ettiğimiz $2\sqrt{3}$ sayısının hangi sayı kümesine ait olduğunu belirlemek için sayı kümelerini kısaca hatırlayalım:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşan kümedir. $\{0, 1, 2, 3, ...\}$
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar, negatifleri ve sıfırdan oluşan kümedir. $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere, $b \neq 0$ koşuluyla $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da devirlidir (tekrarlıdır). Örneğin, $0.5 = 1/2$, $0.333... = 1/3$ rasyonel sayılardır.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $a/b$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuz ve tekrar etmeyen sayılardır. Örneğin, $\pi$ (pi sayısı), $e$ (Euler sayısı) ve $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ gibi tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır.
-
Adım 3: $2\sqrt{3}$ Sayısını İnceleyelim
Elde ettiğimiz sonuç $2\sqrt{3}$'tür.
- $\sqrt{3}$ bir tam kare sayı olmadığı için, $\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır. Yaklaşık değeri $1.73205...$ şeklinde, ondalık kısmı sonsuz ve tekrar etmeyen bir sayıdır.
- Bir irrasyonel sayıyı sıfırdan farklı bir rasyonel sayıyla çarptığımızda (burada $2$ rasyonel bir sayıdır), sonuç yine bir irrasyonel sayı olur.
- Dolayısıyla, $2 \times \sqrt{3}$ işlemi sonucunda elde ettiğimiz $2\sqrt{3}$ sayısı da bir irrasyonel sayıdır.
- $2\sqrt{3}$'ün yaklaşık değeri $2 \times 1.73205... = 3.46410...$ şeklindedir. Bu sayı bir doğal sayı veya tam sayı değildir, çünkü tam bir değer değildir. Ayrıca, ondalık kısmı sonsuz ve tekrar etmediği için rasyonel de değildir.
-
Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) $2\sqrt{3}$ rasyonel bir sayıdır: Yanlış. Çünkü $\sqrt{3}$ irrasyoneldir ve $2\sqrt{3}$ de irrasyoneldir.
- B) $2\sqrt{3}$ irrasyonel bir sayıdır: Doğru. Yukarıdaki açıklamalarımızla uyumludur.
- C) $2\sqrt{3}$ tam sayıdır: Yanlış. $3.46410...$ bir tam sayı değildir.
- D) $2\sqrt{3}$ doğal sayıdır: Yanlış. $3.46410...$ bir doğal sayı değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $2\sqrt{3}$ sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu açıkça görmüş oluyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
