Karmaşık düzlemde bir dönme dönüşümü uygulanacaktır. z = 1 + i karmaşık sayısını orijin etrafında 45° döndürmek için hangi karmaşık sayı ile çarpılmalıdır?
A) $\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$Merhaba sevgili öğrenciler! Karmaşık sayılar, matematikte sadece sayılarla işlem yapmaktan çok daha fazlasını sunar. Özellikle geometrik dönüşümleri (dönme, öteleme, büyütme/küçültme) ifade etmek için çok güçlü bir araçtır. Bu soruda, bir karmaşık sayıyı orijin etrafında döndürmek için hangi karmaşık sayı ile çarpmamız gerektiğini adım adım inceleyelim.
Karmaşık Sayılarda Dönme Prensibi: Bir karmaşık sayıyı orijin etrafında döndürmek için, o sayıyı özel bir "dönme operatörü" ile çarparız. Bu dönme operatörü, dönme açısına bağlı olan ve modülü (büyüklüğü) 1 olan bir karmaşık sayıdır. Modülünün 1 olması, döndürdüğümüz sayının orijine olan uzaklığının değişmemesini sağlar, yani sadece yönü değişir.
Dönme Operatörünün Formülü: Bir $z$ karmaşık sayısını orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürmek için, $z$ sayısını $w = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ karmaşık sayısı ile çarpmamız gerekir. Bu formül, karmaşık sayıların kutupsal gösterimi ve Euler formülü ($e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$) ile yakından ilişkilidir.
Verilen Dönme Açısı: Soruya göre, $z = 1 + i$ karmaşık sayısını orijin etrafında $45^\circ$ döndürmek istiyoruz. Yani dönme açımız $\theta = 45^\circ$'dir.
Dönme Operatörünü Hesaplama: Şimdi $\theta = 45^\circ$ değerini dönme operatörü formülüne yerleştirelim:
$w = \cos(45^\circ) + i\sin(45^\circ)$
Trigonometrik Değerleri Bulma: $45^\circ$ açısının temel trigonometrik değerlerini hatırlayalım:
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
(Bu değerler, $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ özel üçgeninden veya birim çemberden kolayca çıkarılabilir.)
Dönme Operatörünü Oluşturma: Bulduğumuz trigonometrik değerleri dönme operatörü formülüne yerine koyarsak:
$w = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$
Bu ifadeyi daha düzenli bir şekilde, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ortak parantezine alarak yazabiliriz:
$w = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$
Bu karmaşık sayı, $z = 1 + i$ sayısını orijin etrafında $45^\circ$ döndürmek için çarpılması gereken sayıdır.
Seçeneklerle Karşılaştırma: Hesapladığımız dönme operatörü $w = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$'dir. Şimdi bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$
B) $\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i)$
C) $\frac{1}{2}(1 + i)$
D) $\frac{1}{2}(1 - i)$
Görüldüğü gibi, hesapladığımız değer A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
