Bir doğal sayının pozitif bölenlerinin toplamını bulmak için kullanılan formül aşağıdakilerden hangisidir? (n = p₁ᵃ¹.p₂ᵃ²...pₖᵃᵏ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun)
A) (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1)Bir doğal sayının pozitif bölenlerinin toplamını bulma formülünü anlamak için adım adım ilerleyelim:
Öncelikle, verilen doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Yani sayıyı, asal sayıların kuvvetleri şeklinde ifade ederiz. Örneğin, n = p₁ᵃ¹.p₂ᵃ²...pₖᵃᵏ ifadesi, n sayısının p₁, p₂, ..., pₖ gibi asal sayılar ve a₁, a₂, ..., aₖ gibi üsler ile ifade edildiğini gösterir.
Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamını bulmak için şu formülü kullanırız:
(p₁ᵃ¹⁺¹ - 1)/(p₁ - 1) × (p₂ᵃ²⁺¹ - 1)/(p₂ - 1) × ... × (pₖᵃᵏ⁺¹ - 1)/(pₖ - 1)
Bu formül, her bir asal çarpanın kuvvetini bir artırıp, o asal sayının bir eksiğine bölerek elde edilen değerlerin çarpımını ifade eder.
Formülün mantığı şöyledir: Her bir asal çarpanın farklı kuvvetlerini (0'dan aᵢ'ye kadar) alarak elde ettiğimiz tüm olası çarpımların toplamını buluruz. Bu toplam, sayının tüm pozitif bölenlerinin toplamına eşittir.
Örneğin, p₁ᵃ¹ ifadesi için (1 + p₁ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹) toplamını hesaplarız. Bu toplamı kapalı formülle ifade ettiğimizde (p₁ᵃ¹⁺¹ - 1)/(p₁ - 1) sonucunu elde ederiz. Aynı işlemi diğer asal çarpanlar için de yapar ve sonuçları çarparız.
Cevap B seçeneğidir.
