Doğrudan ispat nedir Test 1

Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu doğrudan ispat yöntemiyle kanıtlamak isteyen bir öğrenci, "n çift sayı ise n = 2k (k ∈ Z) şeklinde yazılabilir" ifadesinden sonra aşağıdaki adımlardan hangisini uygulamalıdır?

A) n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) olduğundan n² çifttir
B) n² tek ise n de tektir, bu da çelişkidir
C) Tüm sayıların karesi çifttir
D) n²'nin çift olduğu deneylerle gösterilmiştir

Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu doğrudan ispat yöntemiyle kanıtlamak için, öncelikle çift sayı tanımını kullanırız. Bir $n$ sayısının çift sayı olması demek, $n$'nin bir tam sayı $k$ için $n = 2k$ şeklinde yazılabileceği anlamına gelir.

İspatın başlangıcı olarak $n$ çift sayı ise $n = 2k$ (burada $k \in \mathbb{Z}$) ifadesi verilmiştir. Şimdi bu ifadeden yola çıkarak $n^2$'nin de çift olduğunu göstermeliyiz.

• Adım 1: $n$ çift sayı olduğu için, tanım gereği $n = 2k$ şeklinde yazılabiliriz. Burada $k$ bir tam sayıdır ($k \in \mathbb{Z}$).

• Adım 2: Biz $n^2$'nin çift olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Bu yüzden $n$'nin karesini almalıyız:

  • $n^2 = (2k)^2$

• Adım 3: Üslü sayı kurallarını kullanarak ifadeyi açalım:

  • $(2k)^2 = 2^2 \cdot k^2 = 4k^2$

• Adım 4: Bir sayının çift olduğunu göstermek için, o sayıyı $2 \times (\text{bir tam sayı})$ şeklinde yazabilmeliyiz. $4k^2$ ifadesini bu formata dönüştürelim:

  • $4k^2 = 2 \cdot (2k^2)$

• Adım 5: $k$ bir tam sayı olduğu için, $k^2$ de bir tam sayıdır. Dolayısıyla, $2k^2$ de bir tam sayıdır. Eğer $m = 2k^2$ dersek, $m$ bir tam sayı olur.

• Adım 6: Bu durumda $n^2 = 2m$ şeklinde yazılmış olur. Tanım gereği, $2m$ şeklinde yazılabilen her sayı çift sayıdır.

• Sonuç: $n^2$ bir çift sayıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ olduğundan $n^2$ çifttir: Bu seçenek, yukarıda adım adım gösterdiğimiz doğrudan ispat yönteminin tüm adımlarını doğru bir şekilde özetlemektedir. $n^2$'yi $2 \times (\text{bir tam sayı})$ formuna getirerek çift olduğunu kanıtlar.

• B) $n^2$ tek ise $n$ de tektir, bu da çelişkidir: Bu ifade, dolaylı ispat yöntemlerinden biri olan çelişkiyle ispat (kontrapozisyon veya çelişki) yöntemine aittir. Soru doğrudan ispat yöntemini istediği için bu seçenek doğru değildir.

• C) Tüm sayıların karesi çifttir: Bu ifade yanlıştır. Örneğin, $3$ tek bir sayıdır ve karesi $3^2 = 9$ da tek bir sayıdır.

• D) $n^2$'nin çift olduğu deneylerle gösterilmiştir: Matematiksel ispatlar deneylere dayanmaz, mantıksal çıkarımlara ve tanımlara dayanır. Deneyler bir hipotezi destekleyebilir ancak matematiksel bir kanıt sağlayamaz.

Bu nedenle, "n çift sayı ise n = 2k (k ∈ Z) şeklinde yazılabilir" ifadesinden sonra uygulanması gereken adım, $n^2$'yi cebirsel olarak açıp çift sayı tanımına uygun hale getirmektir.

Cevap A seçeneğidir.