Bir öğrenci "K = {x | x ∈ N ve x, 3 ile tam bölünür}" kümesinin sonlu küme olduğunu iddia ediyor.
Bu iddia için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Doğrudur çünkü 3'e bölünen sayılar sınırlıdır
B) Yanlıştır çünkü bu küme {0, 3, 6, 9, ...} şeklinde sonsuz elemana sahiptir
C) Doğrudur çünkü doğal sayılar sonludur
D) Yanlıştır çünkü 3'e bölünen sayı yoktur
Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım:
-
Öncelikle verilen $K$ kümesinin ne anlama geldiğini anlayalım. Küme, $K = \{x | x \in N \text{ ve } x, 3 \text{ ile tam bölünür}\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
- Buradaki $x \in N$ ifadesi, $x$'in bir doğal sayı olduğunu belirtir. Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- "$x$, $3$ ile tam bölünür" ifadesi ise $x$'in $3$'ün bir katı olduğu anlamına gelir. Yani $x$ sayısı $3$'e kalansız bölünebilir.
-
Bu iki koşulu sağlayan sayıları düşünelim:
- $0$ bir doğal sayıdır ve $3$'e tam bölünür ($0 \div 3 = 0$).
- $3$ bir doğal sayıdır ve $3$'e tam bölünür ($3 \div 3 = 1$).
- $6$ bir doğal sayıdır ve $3$'e tam bölünür ($6 \div 3 = 2$).
- $9$ bir doğal sayıdır ve $3$'e tam bölünür ($9 \div 3 = 3$).
- Bu şekilde devam ederek $12, 15, 18, ...$ gibi sayıları bulabiliriz.
-
Yani $K$ kümesi, $K = \{0, 3, 6, 9, 12, ...\}$ şeklinde yazılabilir.
-
Şimdi "sonlu küme" ve "sonsuz küme" kavramlarını hatırlayalım:
- Sonlu küme: Elemanları sayılabilir ve belirli bir sayıda olan kümedir. Örneğin, bir sınıftaki öğrenci sayısı sonludur.
- Sonsuz küme: Elemanları sayılamayan, yani saymaya başladığınızda asla bitiremeyeceğiniz kadar çok elemana sahip olan kümedir. Örneğin, doğal sayılar kümesi sonsuzdur.
-
$K = \{0, 3, 6, 9, 12, ...\}$ kümesine baktığımızda, $3$'ün katı olan doğal sayıların hiç bitmediğini görürüz. Her zaman bir sonraki $3$'ün katını bulabiliriz (örneğin, $3n$ formülüyle). Bu durum, $K$ kümesinin sonsuz elemana sahip olduğunu gösterir.
-
Öğrencinin iddiası, $K$ kümesinin sonlu bir küme olduğuydu. Yukarıdaki analizimize göre bu iddia yanlıştır.
-
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Doğrudur çünkü 3'e bölünen sayılar sınırlıdır: Öğrencinin iddiası yanlış olduğu için "Doğrudur" kısmı hatalıdır. Ayrıca $3$'e bölünen sayılar sınırsızdır (sonsuzdur).
- B) Yanlıştır çünkü bu küme $\{0, 3, 6, 9, ...\}$ şeklinde sonsuz elemana sahiptir: Öğrencinin iddiası yanlış olduğu için "Yanlıştır" kısmı doğrudur. Açıklaması da $K$ kümesinin sonsuz elemanlara sahip olduğunu doğru bir şekilde belirtmektedir.
- C) Doğrudur çünkü doğal sayılar sonludur: Öğrencinin iddiası yanlış olduğu için "Doğrudur" kısmı hatalıdır. Ayrıca doğal sayılar kümesi ($N$) sonlu değil, sonsuz bir kümedir.
- D) Yanlıştır çünkü 3'e bölünen sayı yoktur: Öğrencinin iddiası yanlış olduğu için "Yanlıştır" kısmı doğrudur. Ancak "3'e bölünen sayı yoktur" ifadesi kesinlikle yanlıştır; $0, 3, 6, 9, ...$ gibi sonsuz sayıda $3$'e bölünen sayı vardır.
Bu değerlendirmeler sonucunda, öğrencinin iddiasının yanlış olduğunu ve bunun nedeninin $K$ kümesinin sonsuz elemana sahip olması gerektiğini belirten B seçeneği doğru cevaptır.
Cevap B seçeneğidir.
