E = {x | x = 1/n, n ∈ N⁺} kümesi veriliyor.
Bu küme için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sonlu kümedir çünkü payda 1'dir
B) Sonsuz kümedir çünkü n doğal sayısı sonsuz değer alabilir
C) Sonlu kümedir çünkü elemanları {1, 1/2, 1/3, ..., 0} şeklindedir
D) Sonsuz kümedir çünkü reel sayılardır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen $E$ kümesinin sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğunu belirlememiz isteniyor. Kümenin tanımını adım adım inceleyelim:
- Verilen küme $E = \{x | x = 1/n, n \in N^{+}\}$ şeklindedir.
- Bu tanım bize şunu söylüyor: $E$ kümesi, $x$ elemanlarından oluşur. Bu $x$ elemanları, $1/n$ şeklinde ifade edilir ve buradaki $n$ sayısı, pozitif doğal sayılar kümesi ($N^{+}$) elemanıdır.
- Öncelikle $N^{+}$ kümesinin ne anlama geldiğini hatırlayalım. $N^{+}$ (pozitif doğal sayılar) kümesi, $1, 2, 3, 4, ...$ şeklinde sonsuza kadar giden sayılardan oluşur. Yani $N^{+} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
- Şimdi $n$ yerine $N^{+}$ kümesindeki değerleri koyarak $E$ kümesinin elemanlarını bulmaya çalışalım:
- Eğer $n = 1$ ise, $x = 1/1 = 1$.
- Eğer $n = 2$ ise, $x = 1/2$.
- Eğer $n = 3$ ise, $x = 1/3$.
- Eğer $n = 4$ ise, $x = 1/4$.
- Bu şekilde devam ettiğimizde, $n$ her farklı pozitif doğal sayı değeri aldığında, $E$ kümesi için yeni ve farklı bir eleman elde ederiz.
- $N^{+}$ kümesi sonsuz sayıda eleman içerdiği için, $n$ yerine koyabileceğimiz sonsuz sayıda farklı değer vardır. Her farklı $n$ değeri için de $1/n$ şeklinde farklı bir eleman elde edeceğimizden, $E$ kümesi de sonsuz sayıda eleman içerecektir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Sonlu kümedir çünkü payda 1'dir - Bu ifade yanlıştır. Payda her zaman $1$ değildir, $n$ değerine göre değişir ($1, 2, 3, ...$).
- B) Sonsuz kümedir çünkü n doğal sayısı sonsuz değer alabilir - Bu ifade doğrudur. Yukarıda açıkladığımız gibi, $n \in N^{+}$ olduğu için $n$ sonsuz sayıda farklı değer alabilir ve bu da $E$ kümesinin sonsuz sayıda elemana sahip olmasına neden olur.
- C) Sonlu kümedir çünkü elemanları $\{1, 1/2, 1/3, ..., 0\}$ şeklindedir - Bu ifade yanlıştır. Küme sonlu değildir ve $0$ elemanı bu kümede yer almaz. $1/n$ ifadesi hiçbir zaman $0$ olamaz ($n$ bir pozitif doğal sayı olduğu sürece). $n$ büyüdükçe $1/n$ değeri $0$'a yaklaşır ama asla $0$ olmaz.
- D) Sonsuz kümedir çünkü reel sayılardır - Bu ifade de yanlıştır. $E$ kümesinin elemanları reel sayılar olmasına rağmen, bir kümenin sonsuz olmasının nedeni sadece elemanlarının reel sayı olması değildir. Örneğin, $\{1, 2, 3\}$ kümesi de reel sayılardan oluşur ama sonludur. Kümenin sonsuz olmasının nedeni, $n$ doğal sayısının sonsuz değer alabilmesidir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $E$ kümesinin sonsuz sayıda eleman içerdiğini ve bunun nedeninin $n$ doğal sayısının sonsuz değer alabilmesi olduğunu açıkça görmüş oluruz.
Cevap B seçeneğidir.
